Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2026

Pregunta 2. (2 puntos) Se quiere enlosar un jardín con forma de triángulo rectángulo de catetos $42\mathrm{m}$ y $56\mathrm{m}$. Dentro del jardín se va a diferenciar un espacio rectangular techado de forma que dos de sus lados sean paralelos a los catetos del triángulo, un vértice coincida con el vértice del ángulo recto del triángulo y el vértice opuesto esté sobre su hipotenusa.

Alicatar la parte cubierta cuesta $30\text{ €}\mathrm{/}{\mathrm{m}}^2$ y la parte no techada, $50\text{ €}\mathrm{/}{\mathrm{m}}^2$ pues las baldosas llevan un tratamiento especial resistente al agua. Calcule las dimensiones de la parte techada que hacen que el coste de instalar el suelo en el jardín sea mínimo.

$\mathbf{\text{Pregunta}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dimensiones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{parte}}\mathbf{\text{techada}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hacen}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{instalar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{suelo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{jard}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo.}}$










Situamos el ángulo recto del jardín en el origen, con el cateto de $56\text{ m}$ sobre el eje de abscisas y el de $42\text{ m}$ sobre el de ordenadas. Llamamos $x$ a la base de la parte techada e $y$ a su altura, con $0<x<56$.

Como el vértice opuesto está sobre la hipotenusa, sus coordenadas cumplen la ecuación segmentaria de esa recta, y de ahí sale la relación entre las dos variables.





${\displaystyle \frac{x}{56}}+{\displaystyle \frac{y}{42}}=1\Rightarrow y=42-{\displaystyle \frac{3}{4}}x$

El área del jardín es la del triángulo y no depende de las variables; lo que cambia es cuánta superficie se alicata a 30 € el metro cuadrado y cuánta a 50 €.

$A_T={\displaystyle \frac{42\cdot 56}{2}}=1176{\text{m}}^2$

$C=30xy+50(1176-xy)=58800-20xy$

Sustituimos $y$ para dejar el coste en función de una sola variable.

$C(x)=58800-20x(42-{\displaystyle \frac{3}{4}}x)=15x^2-840x+58800$

Derivamos e igualamos a cero para localizar el extremo.

$C^{\mathrm{\prime }}(x)=30x-840=0\Rightarrow x=28$

$C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=30>0$

La segunda derivada es positiva en todo el dominio, así que en $x=28$ hay un mínimo, y es el absoluto por tratarse de una parábola con las ramas hacia arriba. La altura correspondiente es:

$y=42-{\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot 28=21$

$C(28)=58800-20\cdot 28\cdot 21=47040$

La parte techada debe medir $28\text{ m}$ de base, paralela al cateto de $56\text{ m}$, por $21\text{ m}$ de altura, con lo que el suelo del jardín cuesta 47 040 €.