Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2026

Pregunta 2: Sentido de la medida (2 puntos)

Considere un punto $P$ de coordenadas $(a,b)$ que está en el primer cuadrante, sobre una circunferencia de radio 10 centrada en el origen $O(0,0)$. Sea $x$ el ángulo que forma el radio $OP$ con el eje horizontal (o eje $X$), medido en radianes.

a) (0,75 ptos.) Demuestre que el área del rectángulo de vértices $O(0,0)$, $A(a,0)$, $B(0,b)$ y $P(a,b)$ viene dada por la función $f(x)=100\cdot \mathrm{sen}(x)\cdot \cos (x)$.

b) (1,25 ptos.) Calcule el ángulo $x$ (en radianes) para que el área de dicho rectángulo sea máxima.

El punto $P(a,b)$ recorre el primer cuadrante de una circunferencia de radio $10$ centrada en el origen, de modo que sus dos coordenadas quedan determinadas por el ángulo $x$.





Escribimos las coordenadas de $P$ en función del ángulo. El triángulo $OAP$ es rectángulo en $A$, su hipotenusa es el radio $\mathrm{\mid }OP\mathrm{\mid }=10$ y sus catetos son precisamente $a$ y $b$.

$\cos x={\displaystyle \frac{a}{10}}\Rightarrow a=10\cos x$

$\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{b}{10}}\Rightarrow b=10\mathrm{sen}x$

El rectángulo tiene base $a$ y altura $b$, luego su área es el producto de ambas:

$f(x)=a\cdot b=10\cos x\cdot 10\mathrm{sen}x=100\mathrm{sen}(x)\cos (x)$

Queda así demostrado que el área del rectángulo, como función del ángulo, es $f(x)=100\mathrm{sen}(x)\cos (x)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{ptos.)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathit{x}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{rect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima.}}$

Buscamos el máximo de $f$ en el intervalo $(0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$, que es el recorrido del ángulo mientras $P$ está en el primer cuadrante. Derivamos e igualamos a cero.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=100({\cos }^{2}x-{\mathrm{sen}}^{2}x)=100\cos (2x)$

$100\cos (2x)=0\Rightarrow 2x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

Hacemos un estudio de signos de la derivada para confirmar que ese punto crítico es un máximo:

$\begin{array}{ccc}& (0,\frac{\pi }{4})& (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})\\ \cos (2x)& +& -\\ f(x)& \nearrow & \searrow \end{array}$

La función crece antes de ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ y decrece después, así que ahí alcanza su máximo absoluto. Calculamos el área correspondiente:

$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=100\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=50$

El área es máxima para un ángulo de ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ radianes; en ese caso $a=b=5\sqrt{2}$, el rectángulo es un cuadrado y su área vale $50$ unidades cuadradas.