Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2024

Para cada punto $(x,y)$ de la curva $y=e^{-2x}$, con $x>0$ e $y>0$, considere el rectángulo con vértices en los puntos $(0,0)$, $(x,0)$, $(0,y)$ y $(x,y)$.

a) Compruebe que, de entre todos estos rectángulos, el que tiene $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ es el de área máxima. ¿Cuál es el valor de esta área? [1,5 puntos]
b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función $y=e^{-2x}$ en el punto de abscisa $x=0$, y su punto de corte con el eje de abscisas. [1 punto]

Cada rectángulo queda determinado por la abscisa $x$ del punto de la curva: su base mide $x$ y su altura es la ordenada de ese punto, $y=e^{-2x}$. El área es, por tanto, una función de una sola variable.

$S(x)=x\cdot e^{-2x},x>0$





Para localizar el máximo derivamos, aplicando la regla del producto, e igualamos a cero.

$S^{\mathrm{\prime }}(x)=1\cdot e^{-2x}+x\cdot (-2)e^{-2x}=e^{-2x}(1-2x)$

$S^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow e^{-2x}(1-2x)=0$

La exponencial nunca se anula, así que el único punto crítico sale del otro factor.

$1-2x=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Como $e^{-2x}>0$ siempre, el signo de $S^{\mathrm{\prime }}(x)$ es el del factor $1-2x$.

$0<x<{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow S^{\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow S\text{ es creciente}$

$x>{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow S^{\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow S\text{ es decreciente}$

La función pasa de creciente a decreciente en $x=\frac{1}{2}$, luego ahí hay un máximo, y por ser el único extremo del intervalo $(0,+\mathrm{\infty })$ es el máximo absoluto.

$S\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot e^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2e}}\approx \mathrm{0,1839}$

Queda comprobado que el rectángulo de área máxima es el de $x=\frac{1}{2}$, y esa área máxima vale $\frac{1}{2e}\approx \mathrm{0,1839}$ unidades de área.



La recta tangente en el punto de abscisa $x=0$ es $y-y(0)=y^{\mathrm{\prime }}(0)(x-0)$, así que evaluamos la función y su derivada en ese punto.

$y(0)=e^0=1$

$y^{\mathrm{\prime }}(x)=-2e^{-2x}\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}(0)=-2e^0=-2$

$y-1=-2(x-0)\Rightarrow y=1-2x$

Para el corte con el eje de abscisas imponemos $y=0$.

$0=1-2x\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

La recta tangente es $y=1-2x$ y corta al eje de abscisas en el punto $(\frac{1}{2},0)$, que es precisamente la abscisa del rectángulo de área máxima del apartado anterior.