Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2021

Problema 6.

Queremos diseñar un campo de juego de modo que la parte central sea rectangular, y las partes laterales sean semicircunferencias hacia fuera. La superficie del campo mide $(4+\pi )$ metros cuadrados. Se quieren pintar todas las rayas de dicho campo tal y como se observa en la figura. Se pide:

a) Escribid la longitud total de las rayas del campo en función de la altura $y$ del rectángulo. (5 puntos)
b) Calculad las dimensiones del campo para que la pintura usada sea mínima. (5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Escribid}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rayas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{altura}}\mathit{y}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo.}}\mathbf{\text{(5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Su superficie es de $(4+\pi ){\text{m}}^2$.
El campo es: un rectángulo de dimensiones $x$ e $y$ ,dos semicírculos de radio $y\mathrm{/}2$.
La longitud de las rayas a pintar será: Perímetro del rectángulo: $2x+2y$ + Perímetro de dos semicircunferencias: $2\pi \cdot \frac{y}{2}=\pi y$

Por tanto: $L=2x+2y+\pi y$

Para poder expresar $L$ en función de $y$, hay que buscar la relación entre $x$ e $y$.

La relación la obtenemos a partir del valor de la superficie del campo.

El campo está formado por un rectángulo y dos semicírculos. $\{\begin{array}{l}\text{El }\acute{\text{a}}\text{rea del rect}\acute{\text{a}}\text{ngulo ser}\acute{\text{a}}\text{: xy}\\ \text{El }\acute{\text{a}}\text{rea de los dos semic}\acute{\text{ı}}\text{rculos ser}\acute{\text{a}}:2\cdot \frac{\pi y^2}{8}=\frac{\pi y^2}{4}\end{array}$

Superficie del campo: $xy+\frac{\pi }{4}{y}^2$

Luego: $xy+\frac{\pi }{4}{y}^2=4+\pi$ despejemos $x$: $xy=4+\pi -\frac{\pi }{4}{y}^2\Rightarrow x=\frac{4+\pi -\frac{\pi }{4}{y}^2}{y}$

Luego, $L=2\left(\frac{4+\pi -\frac{\pi }{4}{y}^2}{y}\right)+2y+\pi y=\frac{8+2\pi -\frac{\pi }{2}{y}^2}{y}+2y+\pi y=\frac{8+2\pi }{y}+2y+(\pi -\frac{\pi }{2})y$ $=\frac{8+2\pi }{y}+2y+\frac{\pi }{2}y$

Solución: $L=\frac{8+2\pi }{y}+2y+\frac{\pi }{2}y$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calculad}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dimensiones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pintura}}\mathbf{\text{usada}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima.}}\mathbf{\text{(5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Debemos minimizar $L$. Como $y$ es la longitud de un lado, por definición, $y\ge 0$.

$L=\frac{8+2\pi }{y}+2y+\frac{\pi }{2}y$

$L^{\mathrm{\prime }}=-\frac{8+2\pi }{y^2}+2+\frac{\pi }{2}$

$L^{\mathrm{\prime }}=0\Rightarrow -\frac{8+2\pi }{y^2}+2+\frac{\pi }{2}=0\Rightarrow 2+\frac{\pi }{2}=\frac{8+2\pi }{y^2}\Rightarrow \frac{4+\pi }{2}=\frac{8+2\pi }{y^2}\Rightarrow y^2=\frac{16+4\pi }{4+\pi }\Rightarrow y^2=\frac{4(4+\pi )}{4+\pi }\Rightarrow y^2=4\Rightarrow y=\pm \sqrt{4}=\pm 2$

Como $y\ge 0$, la solución obtenida es $y=2$. Ahora podemos estudiar el signo de $L^{\mathrm{\prime }}$ en los intervalos $(0,2)$ y $(2,+\mathrm{\infty })$ o calcular directamente $L^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$.

Calculamos $L^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$:

Reescribimos la expresión de $L^{\mathrm{\prime }}$ $\Rightarrow$ $L^{\mathrm{\prime }}=-(8+2\pi )y^{-2}+2+\frac{\pi }{2}$

$L^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=-(8+2\pi )(-2)y^{-3}=\frac{16+4\pi }{y^3}$

Para $y=2$$\Rightarrow$ $L^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=\frac{16+4\pi }{2^3}>0$

Por tanto en $y=2$ hay un mínimo relativo (el único extremo obtenido). Este mínimo relativo es el absoluto de $L$ porque a la izquierda de $2$ $L$ es decreciente y a la derecha creciente.

$y=2\Rightarrow x=\frac{4+\pi -\frac{\pi }{4}\cdot 2^2}{2}=\frac{4+\pi -\pi }{2}=\frac{4}{2}=2$

Solución: para que la pintura usada sea mínima las dimensiones del campo son la parte central un cuadrado de lado $2$ m ($x=y=2$) y las semicircunferencias laterales de radio $1$ m.