Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2023

Problema 6.





El corte vertical de la entrada a la plaza amurallada de cierto pueblo tiene forma de parábola con ecuación $y=-x^2+12$, donde $x$ e $y$ se miden en metros e $y=0$ representa el suelo. Se desea poner una puerta rectangular de modo que las dos esquinas superiores estén en la parábola y las inferiores en el suelo. El resto de la entrada va cerrado con piedra. Calcular:

a) Las dimensiones de la puerta para que tenga la mayor superficie posible. (6 puntos)
b) Utilizando la puerta del apartado anterior, obtener el área de la parte frontal de la puerta y el área de la parte frontal de la entrada recubierta por piedra. (4 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{dimensiones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{puerta}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{posible.}}\mathbf{\text{(6}}\mathbf{\text{puntos)}}$











El área de la puerta viene dada por:

$A(x)=2x(12-x^2)=24x-2x^3,0<x<\sqrt{12}$

Veamos dónde alcanza su máximo:

$A^{\mathrm{\prime }}(x)=24-6x^2$





En el máximo, sabemos que:

$A^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 24-6x^2=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow \{\begin{array}{ll}x=-2& \text{(no sirve porque }0<x<\sqrt{12}\text{)}\\ x=2\end{array}$










El área es máxima cuando las dimensiones de la puerta son:

$\text{Base}=2x=4\text{u}$

$\text{Altura}=12-x^2=8\text{u}$





Además, el área de la puerta:

$A(x)=2x(12-x^2)\Rightarrow A(2)=4\cdot 8=32{\text{u}}^2$


$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Utilizando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{puerta}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{parte}}\mathbf{\text{frontal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{puerta}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{parte}}\mathbf{\text{frontal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{entrada}}\mathbf{\text{recubierta}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{piedra.}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Conocemos ya el área de la puerta. Calcularemos el área limitada por la curva y restaremos para obtener el área de la parte de piedra. Así:

$A_{\text{total}}=A_{\text{puerta}}+A_{\text{piedra}}$

El área total viene dada por:

$A_{\text{total}}={\int }_{-\sqrt{12}}^{\sqrt{12}}(12-x^2)dx={[12x-\frac{x^3}{3}]}_{-\sqrt{12}}^{\sqrt{12}}$

$=(12\sqrt{12}-\frac{{\sqrt{12}}^3}{3})-(-12\sqrt{12}+\frac{{\sqrt{12}}^3}{3})=55.4256{\text{u}}^2$

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}{A}_{\text{puerta}}=32{\text{u}}^2\\ A_{\text{piedra}}=A_{\text{total}}-A_{\text{puerta}}=23.4256{\text{u}}^2\end{array}$