Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2021

3. Análisis:
De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos lados sobre los ejes de coordenadas y un vértice sobre la recta $x+2y=4$, determine los vértices del que tiene mayor área.

Llamamos $(x,y)$ al vértice que se apoya en la recta. Como los otros dos lados están sobre los ejes, ese punto fija por completo el rectángulo, cuyos vértices son $(0,0)$, $(x,0)$, $(x,y)$ y $(0,y)$.



La función a maximizar es el área, que depende de dos variables ligadas por la condición de estar en la recta.

$A=xy\text{con}x+2y=4$

Despejamos una variable en la restricción y la llevamos al área para dejarla en función de una sola.

$x+2y=4\Rightarrow y={\displaystyle \frac{4-x}{2}}$

$A(x)=x\cdot {\displaystyle \frac{4-x}{2}}={\displaystyle \frac{4x-x^2}{2}}=2x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$

Por estar el rectángulo en el primer cuadrante, ha de ser $x\ge 0$ e $y\ge 0$, lo que restringe el dominio a $0\le x\le 4$. Buscamos los puntos críticos.

$A^{\mathrm{\prime }}(x)=2-x$

$A^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 2-x=0\Rightarrow x=2$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-1<0\Rightarrow \text{en }x=2\text{ hay un m}\acute{\text{a}}\text{ximo}$

Al ser el único extremo del intervalo y anularse el área en los dos bordes ($A(0)=A(4)=0$), ese máximo relativo es también el absoluto.

$x=2\Rightarrow y={\displaystyle \frac{4-2}{2}}=1\Rightarrow A=2\cdot 1=2$

El rectángulo de mayor área tiene por vértices $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,1)$ y $(0,1)$, y su área vale 2 unidades cuadradas.