Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2025

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2,5 puntos)

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.1 Una empresa de paquetería quiere diseñar distintos modelos de cajas. Uno de esos modelos consiste en una caja de $80{\text{ cm}}^3$ de volumen, con base y tapa cuadradas. El precio del material de las paredes laterales es de 1 céntimo por ${\text{cm}}^2$. La base y tapa se construirán con un material de calidad superior a las caras laterales de la caja, siendo éste un 25% más caro. Obtener:

4.1.1 (0.75 puntos) La función $P(x)$ que proporciona el precio del material de la caja en función del lado de la base $x$.
4.1.2 (1.25 puntos) Las dimensiones de la caja para que la función $P(x)$ tenga el menor valor posible.
4.1.3 (0.5 puntos) El precio del material en el caso anterior.

Precio lateral $\to 1$ céntimo por centímetro cuadrado

Precio tapas $\to \mathrm{1,25}$ céntimos por centímetro cuadrado

Precio de la caja:

$P(x,y)=2\cdot \mathrm{1,25}\cdot x^2+4\cdot 1\cdot x\cdot y$

$P(x,y)=\mathrm{2,5}{x}^2+4xy$ céntimos

Relacionamos las variables $x$ e $y$ con el volumen dado:

$V=\acute{\text{a}}\text{rea base}\cdot \text{altura}\Rightarrow 80=x^{2}y\Rightarrow y=\frac{80}{x^2}$

Y por tanto:

$P(x)=\mathrm{2,5}{x}^2+4x\cdot \frac{80}{x^2}=\mathrm{2,5}{x}^2+\frac{320}{x}$ céntimos, $x>0$



Calculamos el mínimo:

$P(x)=\mathrm{2,5}{x}^2+\frac{320}{x}$ céntimos, $x>0$

$P^{\mathrm{\prime }}(x)=5x-\frac{320}{x^2}$

$P^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 5x-\frac{320}{x^2}=0\Rightarrow x^3=64\Rightarrow x=\sqrt[3]{64}=4\text{ cm}$

$P^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ si $0<x<4$ y $P^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ si $x>4$

$\mathbf{\text{4.1.3}}\mathbf{\text{(0.5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{anterior.}}$

El precio de la caja es mínimo cuando sus dimensiones son

$x=4\text{ cm}$

$y=\frac{80}{x^2}=\frac{80}{4^2}=5\text{ cm}$

Dicho precio mínimo es:

$P(4)=\mathrm{2,5}\cdot 4^2+\frac{320}{4}=120$ céntimos.