Examen de Matemáticas II de Comunidad Valenciana 2025 (convocatoria ordinaria)

PREGUNTA 1: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (2,5 puntos)

Una pizzería ofrece tres tipos de pizza: margarita, vegetariana y pepperoni. A lo largo de los años, utilizando su aplicación para teléfonos inteligentes, el restaurante ha recopilado datos sobre las preferencias de los clientes, calculando que el 40% de sus clientes piden pizza margarita, el 25% elige la pizza vegetariana y el resto prefiere la pizza pepperoni.

1.1 (0.25 puntos) Si se elige un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya pedido una pizza pepperoni?
1.2 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que dos clientes elegidos al azar hayan pedido distintos tipos de pizza?

Para mejorar su servicio y agilizar los tiempos de preparación, la pizzería decide considerar un grupo típico de 10 clientes con el objetivo de decidir cuántas pizzas margarita preparar con antelación y evitar retrasos durante las horas con más demanda, minimizando el desperdicio.

1.3 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 de los 10 clientes pidan pizzas margarita?
1.4 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los 10 clientes del grupo pida una pizza margarita?

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2,5 puntos)

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.1 En un sistema de procesamiento de imágenes se utiliza una matriz para transformar ciertos datos. La matriz depende del parámetro real $\alpha$ y es: $A=\left[\begin{array}{ccc}1& \alpha & 0\\ 0& \alpha & 0\\ 0& 0& 1-\alpha \end{array}\right]$.

2.1.1 (1.25 puntos) En uno de los procesos, para que el sistema funcione, se necesita que la matriz sea idempotente, es decir que su cuadrado coincida con ella, $A^2=A$. Obtener los valores $\alpha$ que permitan funcionar a este proceso.
2.1.2 (1.25 puntos) En otro proceso diferente, se necesita utilizar la matriz inversa de $A$. Obtener los valores de $\alpha$ para los cuales existe la inversa y calcular esta inversa en función de $\alpha$.

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2,5 puntos)

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.2 Sea el sistema de ecuaciones lineales: $\{\begin{array}{l}3x-2y-3z=0\\ 2x+ay-5z=-3,\\ x+y+2z=3\end{array}$ donde $a$ es un parámetro real. Se pide:

2.2.1 (1 punto) Discutir el sistema en función del parámetro $a$.
2.2.2 (0.75 puntos) Calcular las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado.
2.2.3 (0.75 puntos) Calcular la solución del sistema para $a=0$.

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.1 Dada la recta $r:\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda \\ y=\lambda \\ z=2-\lambda \end{array}$ y la recta $s:\{\begin{array}{l}x=-1\\ x+2y+z=0\end{array}$, calcular:

3.1.1 (1 punto) Si existen, las coordenadas del punto de corte de ambas rectas.
3.1.2 (1 punto) La ecuación del plano que contiene a ambas rectas.
3.1.3 (0.5 puntos) La distancia del punto $P=(1,0,2)$ a dicho plano.

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.2 Se consideran el plano $\pi :3x-y+2z=4$ y el punto $P=(-1,0,1)$. Se pide:

3.2.1 (1 punto) La ecuación del plano perpendicular a $\pi$ que pasa por $P$ y por $Q=(2,1,2)$.
3.2.2 (0.5 puntos) La distancia del punto $Q$ al plano $\pi$.
3.2.3 (1 punto) El punto simétrico de $P$ respecto al plano $\pi$.

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2,5 puntos)

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.1 Una empresa de paquetería quiere diseñar distintos modelos de cajas. Uno de esos modelos consiste en una caja de $80{\text{ cm}}^3$ de volumen, con base y tapa cuadradas. El precio del material de las paredes laterales es de 1 céntimo por ${\text{cm}}^2$. La base y tapa se construirán con un material de calidad superior a las caras laterales de la caja, siendo éste un 25% más caro. Obtener:

4.1.1 (0.75 puntos) La función $P(x)$ que proporciona el precio del material de la caja en función del lado de la base $x$.
4.1.2 (1.25 puntos) Las dimensiones de la caja para que la función $P(x)$ tenga el menor valor posible.
4.1.3 (0.5 puntos) El precio del material en el caso anterior.

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2,5 puntos)

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.2 Dada la función real de variable real $f(x)=x\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }$. Se pide:

4.2.1 (1 punto) Representar la región comprendida entre la gráfica de la función $f$, el eje de abscisas (eje OX) y las rectas $x=-1$ y $x=5$.
4.2.2 (1.5 puntos) Calcular el área de la región anterior.