Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.2 Se consideran el plano $\pi :3x-y+2z=4$ y el punto $P=(-1,0,1)$. Se pide:

3.2.1 (1 punto) La ecuación del plano perpendicular a $\pi$ que pasa por $P$ y por $Q=(2,1,2)$.
3.2.2 (0.5 puntos) La distancia del punto $Q$ al plano $\pi$.
3.2.3 (1 punto) El punto simétrico de $P$ respecto al plano $\pi$.

$\pi :3x-y+2z=4$ $P(-1,0,1)$













$\overrightarrow{PQ}=(2,1,2)-(-1,0,1)=(3,1,1)$

${\vec{n}}_{\sigma }=\overrightarrow{PQ}\times {\vec{n}}_{\pi }=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 3& 1& 1\\ 3& -1& 2\end{array}\mid =(3,-3,-6)$

$\sigma :Ax+By+Cz+D=0$

${\vec{n}}_{\sigma }=(3,-3,-6)\Rightarrow \sigma :3x-3y-6z+D=0$

$P(-1,0,1)\in \sigma \Rightarrow 3(-1)-6(1)+D=0\Rightarrow D=9$

$\Rightarrow \sigma :3x-3y-6z+9=0\Rightarrow \sigma :x-y-2z+3=0$





$\mathbf{\text{3.2.2}}\mathbf{\text{(0.5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{Q}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

$\pi :3x-y+2z-4=0$; $Q(2,1,2)$

$d(Q,\pi )=\frac{\mathrm{\mid }A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\mathrm{\mid }}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{\mathrm{\mid }3\cdot 2-1+2\cdot 2-4\mathrm{\mid }}{\sqrt{3^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{5}{\sqrt{14}}\text{ u}$

$\mathbf{\text{3.2.3}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{sim}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{trico}}\mathbf{\text{de}}\mathit{P}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$










i) Construimos una recta $r$ que pasando por $P$, sea perpendicular a $\pi$:

$r:\{\begin{array}{l}x=-1+3\lambda \\ y=-\lambda \\ z=1+2\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

Punto $\to P(-1,0,1)$

Vector director $\to {\vec{V}}_r={\vec{n}}_{\pi }=(3,-1,2)$





ii) Calculamos $R$ como intersección entre $r$ y $\pi$:

$\{\begin{array}{l}R\in r:(-1+3\lambda ,-\lambda ,1+2\lambda )\\ \pi :3x-y+2z-4=0\end{array}$

$3(-1+3\lambda )+\lambda +2(1+2\lambda )-4=0$

$-3+9\lambda +\lambda +2+4\lambda -4=0$

$14\lambda -5=0\Rightarrow \lambda =\frac{5}{14}$

Con lo que $R\in r:(-1+3\lambda ,-\lambda ,1+2\lambda )\Rightarrow R(\frac{1}{14},-\frac{5}{14},\frac{12}{7})$

iii) Basta razonar que $R$ es el punto medio del segmento $\overline{P{P}^{\mathrm{\prime }}}$. Así:

$R=(\frac{-1+P_x^{\mathrm{\prime }}}{2},\frac{0+P_y^{\mathrm{\prime }}}{2},\frac{1+P_z^{\mathrm{\prime }}}{2})$

$(\frac{1}{14},-\frac{5}{14},\frac{12}{7})=(\frac{-1+P_x^{\mathrm{\prime }}}{2},\frac{P_y^{\mathrm{\prime }}}{2},\frac{1+P_z^{\mathrm{\prime }}}{2})$

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{14}=\frac{-1+P_x^{\mathrm{\prime }}}{2}\Rightarrow P_x^{\mathrm{\prime }}=\frac{8}{7}\\ -\frac{5}{14}=\frac{P_y^{\mathrm{\prime }}}{2}\Rightarrow P_y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{5}{7}\\ \frac{12}{7}=\frac{1+P_z^{\mathrm{\prime }}}{2}\Rightarrow P_z^{\mathrm{\prime }}=\frac{17}{7}\end{array}\Rightarrow P^{\mathrm{\prime }}(\frac{8}{7},-\frac{5}{7},\frac{17}{7})$