Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.1 Dada la recta $r:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{1}$ y el plano $\pi :2x+my+z-3=0$, se pide:

3.1.1 El valor de $m$ para el que $\pi$ y $r$ son perpendiculares. (0.5 puntos)
3.1.2 El valor de $m$ para el que $\pi$ y $r$ son paralelos. (0.75 puntos)
3.1.3 Calcular, cuando sea posible, el punto de intersección entre $\pi$ y $r$ en función del parámetro real $m$. (1.25 puntos)

$\mathbf{\text{3.1.1}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{m}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathit{r}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{perpendiculares.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La recta tiene vector director:

${\vec{v}}_r=(2,-1,1)$

El plano tiene vector normal:

${\vec{n}}_{\pi }=(2,m,1)$

Una recta y un plano son perpendiculares si el vector director de la recta es paralelo al vector normal del plano:

${\vec{v}}_r=\lambda {\vec{n}}_{\pi }$

Entonces:

$(2,-1,1)=\lambda (2,m,1)$

De la primera y tercera coordenada:

$2=2\lambda \Rightarrow \lambda =1,1=\lambda \Rightarrow \lambda =1$

Por tanto:

$m=-1$

$\mathbf{\text{3.1.2}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{m}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathit{r}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{paralelos.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Una recta y un plano son paralelos si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano:

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=0$

Sustituyendo:

$(2,-1,1)\cdot (2,m,1)=0$

$4-m+1=0\Rightarrow 5-m=0\Rightarrow m=5$

Para $m=5$, la recta y el plano son paralelos.

$\mathbf{\text{3.1.3}}\mathbf{\text{Calcular,}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{posible,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intersecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathit{r}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathit{m}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Pasamos la recta a forma paramétrica.

De:

$\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{1}=\lambda$

obtenemos:

$\{\begin{array}{l}x=2\lambda \\ y=-1-\lambda \\ z=1+\lambda \end{array}$

Sustituimos en el plano:

$2x+my+z-3=0$

$2(2\lambda )+m(-1-\lambda )+(1+\lambda )-3=0$

Agrupamos términos en $\lambda$:

$4\lambda -m-m\lambda +1+\lambda -3=0$

$(5-m)\lambda -m-2=0$

Si $m\mathrm{\ne }5$, podemos despejar:

$\lambda =\frac{m+2}{5-m}$

Por tanto, el punto de intersección es:

$P=(2\lambda ,-1-\lambda ,1+\lambda )$

Sustituyendo $\lambda =\frac{m+2}{5-m}$:

$P=(\frac{2(m+2)}{5-m},-1-\frac{m+2}{5-m},1+\frac{m+2}{5-m})$

Simplificando cada coordenada:

$P=(\frac{2m+4}{5-m},\frac{-7}{5-m},\frac{7}{5-m}),m\mathrm{\ne }5$

Para $m=5$, en el apartado anterior vimos que la recta es paralela al plano. Además, al sustituir en la ecuación obtenida:

$(5-m)\lambda -m-2=0$

queda:

$0\cdot \lambda -7=0$

lo cual es imposible. Por tanto, para $m=5$ no hay punto de intersección.