Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Cuestión 6.

Considere la recta $r$ y el plano $\pi$ dados por las siguientes ecuaciones: $r:{\displaystyle \frac{x+1}{2}}={\displaystyle \frac{y-2}{1}}={\displaystyle \frac{z-1}{0}}$ y $\pi :x-2y-z=4$.
a) [1 p.] Estudie la posición relativa de la recta y el plano.
b) [0,5 p.] En caso de que la recta corte al plano, calcule el punto de corte y el ángulo que forman. En caso contrario, calcule la distancia entre la recta y el plano.
c) [1 p.] Determine el plano que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi$.

De la recta leemos un punto y su vector director, y del plano su vector normal.

$P(-1,2,1),\vec{v}=(2,1,0);\vec{n}=(1,-2,-1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano.}}$

Comparamos el director con la normal mediante el producto escalar.

$\vec{v}\cdot \vec{n}=2-2+0=0$

Al anularse, la recta es paralela al plano o está contenida en él. Comprobamos el punto de paso:

$(-1)-2\cdot 2-1=-6\mathrm{\ne }4$

El punto no pertenece al plano, luego la recta $r$ es paralela a $\pi$ y exterior a él.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forman.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{contrario,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano.}}$

Estamos en el segundo caso: no hay punto de corte y, al ser paralelos, todos los puntos de la recta equidistan del plano.

$d(r,\pi )=d(P,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }(-1)-2\cdot 2-1-4\mathrm{\mid }}{\sqrt{1+4+1}}}={\displaystyle \frac{10}{\sqrt{6}}}$

$d(r,\pi )={\displaystyle \frac{10\sqrt{6}}{6}}={\displaystyle \frac{5\sqrt{6}}{3}}$

La distancia entre la recta y el plano es ${\displaystyle \frac{5\sqrt{6}}{3}}\approx \mathrm{4,08}$ unidades de longitud.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

El plano buscado contiene la dirección de la recta y, por ser perpendicular a $\pi$, también la de su normal. Con dos vectores directores, su normal sale del producto vectorial.

$\vec{N}=\vec{v}\times \vec{n}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 1& 0\\ 1& -2& -1\end{array}\mid =(-1,2,-5)$

Imponemos que pase por $P(-1,2,1)$:

$-1(x+1)+2(y-2)-5(z-1)=0$

$x-2y+5z=0$

El plano pedido es $\sigma :x-2y+5z=0$: contiene a la recta y corta a $\pi$ en perpendicular.