Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Cuestión 6.

En este ejercicio las cuestiones a) y b) son totalmente independientes.

Considere los puntos $A=(a,4,3)$, $B=(0,0,5)$ y $C=(0,3,-1)$.

a) [1 p.] Calcule los valores de $a$ para los cuales el triángulo $\widehat{ABC}$ tiene un ángulo recto en el vértice $A$.

b) [1,5 p.] Tomando el valor de $a=3$, determine la ecuación del plano que pasa por los puntos $A$ y $B$ y es paralelo a la recta dada por $\{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ 2x+y=3\end{array}$.

El ángulo en $A$ es recto cuando los dos lados que salen de ese vértice son perpendiculares, es decir, cuando su producto escalar se anula.

$\overrightarrow{AB}=(-a,-4,2),\overrightarrow{AC}=(-a,-1,-4)$

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2+4-8=a^2-4$

$a^2-4=0\Rightarrow a=\pm 2$

El triángulo es rectángulo en $A$ para los dos valores $a=2$ y $a=-2$.



Con $a=3$ los puntos son $A(3,4,3)$ y $B(0,0,5)$. Un plano queda determinado por un punto y dos direcciones: la del segmento $AB$ y, por el paralelismo, la de la recta.

$\overrightarrow{AB}=(-3,-4,2)$

$\vec{d}={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 1\\ 2& 1& 0\end{array}\mid =(-1,2,3)$

Imponemos que el vector $\overrightarrow{AX}$ sea coplanario con esos dos anulando el determinante:

$\mid \begin{array}{ccc}x-3& y-4& z-3\\ -3& -4& 2\\ -1& 2& 3\end{array}\mid =0$

$-16(x-3)+7(y-4)-10(z-3)=0$

$16x-7y+10z-50=0$

Comprobamos las tres condiciones: $A$ lo cumple, porque $48-28+30-50=0$; $B$ también, porque $50-50=0$; y el plano es paralelo a la recta, ya que $(16,-7,10)\cdot (-1,2,3)=-16-14+30=0$.

El plano pedido es $16x-7y+10z-50=0$.