Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Cuestión 6.

Considere las rectas $r$ y $s$ dadas por $r:{\displaystyle \frac{x-1}{-1}}={\displaystyle \frac{y}{1}}={\displaystyle \frac{z}{1}}$ y $s:\{\begin{array}{l}x+2z=1\\ y=0\end{array}$
a) [1,5 p.] Compruebe que las rectas son coplanarias (es decir, estan contenidas en un mismo plano) y calcule la ecuación del plano que las contiene.
b) [1 p.] Calcule la distancia de la recta $r$ al plano $\pi :x-y+2z=3$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{coplanarias}}\mathbf{\text{(es}}\mathbf{\text{decir,}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{contenidas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{plano)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{contiene.}}$

Escribimos cada recta con un punto y un vector director.

$A(1,0,0),\vec{u}=(-1,1,1)$

$B(1,0,0),\vec{v}=(-2,0,1)$

Las dos pasan por el mismo punto, así que $\overrightarrow{AB}=\vec{0}$ y el producto mixto de los tres vectores se anula sin necesidad de calcularlo: las rectas son coplanarias. Además, al tener directores no proporcionales, se cortan precisamente en $(1,0,0)$.

El plano que las contiene tiene por normal el producto vectorial de los dos directores.

$\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 1& 1\\ -2& 0& 1\end{array}\mid =(1,-1,2)$

$1(x-1)-1(y-0)+2(z-0)=0\Rightarrow {\pi }^{\mathrm{\prime }}:x-y+2z=1$





Antes de medir hay que comprobar que la distancia está bien definida, es decir, que la recta es paralela al plano.

$\vec{u}\cdot {\vec{n}}_{\pi }=-1-1+2=0$

$1-0+0=1\mathrm{\ne }3$

El director es perpendicular a la normal y el punto de paso no pertenece al plano, luego la recta es paralela y exterior. Entonces todos sus puntos equidistan del plano y basta medir desde $A(1,0,0)$.

$d(r,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1-0+0-3\mathrm{\mid }}{\sqrt{1+1+4}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}}}$

$d(r,\pi )={\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}$

La distancia de la recta al plano es ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}\approx \mathrm{0,82}$ unidades de longitud.