Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Pregunta 3: Sentido espacial (2 puntos)

Considere el plano $\pi :2x-y+3z-5=0$ y la recta $r:{\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y+1}{1}}={\displaystyle \frac{z-2}{-1}}$.

a) (0,75 ptos.) Estudie la posición relativa de $r$ y $\pi$.

b) (1,25 ptos.) Si $r$ corta a $\pi$ en un solo punto, calcule dicho punto y el ángulo que forma $r$ con $\pi$. Si $r$ es paralela a $\pi$, calcule la distancia de $r$ a $\pi$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{ptos.)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

Extraemos los elementos característicos de cada figura: el vector normal del plano y un punto y un vector director de la recta.

${\vec{n}}_{\pi }=(2,-1,3)$

$P(1,-1,2),{\vec{v}}_r=(2,1,-1)$

La recta corta al plano si su director no es perpendicular a la normal, así que calculamos el producto escalar de ambos vectores.

${\vec{n}}_{\pi }\cdot {\vec{v}}_r=2\cdot 2+(-1)\cdot 1+3\cdot (-1)=4-1-3=0$

Al anularse, la recta es paralela al plano o está contenida en él. Para distinguir los dos casos comprobamos si su punto de paso satisface la ecuación del plano:

$2\cdot 1-(-1)+3\cdot 2-5=4\mathrm{\ne }0$

Como $P\mathrm{\notin }\pi$, la recta $r$ es paralela al plano $\pi$ y no tienen ningún punto en común.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{ptos.)}}\mathbf{\text{Si}}\mathit{r}\mathbf{\text{corta}}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{punto,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forma}}\mathit{r}\mathbf{\text{con}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Si}}\mathit{r}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{paralela}}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathit{r}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

Por el apartado anterior estamos en el segundo caso. Al ser la recta paralela al plano, todos sus puntos equidistan de él, de modo que basta calcular la distancia de uno cualquiera; tomamos el punto de paso $P(1,-1,2)$.

$d(r,\pi )=d(P,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2x_0-y_0+3z_0-5\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+3^2}}}$

El numerador ya lo hemos obtenido en el apartado a) al comprobar la pertenencia:

$\mathrm{\mid }2\cdot 1-(-1)+3\cdot 2-5\mathrm{\mid }=4$

$\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$

$d(r,\pi )={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{14}}}={\displaystyle \frac{4\sqrt{14}}{14}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{14}}{7}}$

La distancia de la recta al plano es de ${\displaystyle \frac{2\sqrt{14}}{7}}\approx \mathrm{1,07}$ unidades de longitud.