Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Ejercicio 3A (2,5 puntos)

Se consideran las siguientes rectas:

$r_1\equiv \{\begin{array}{l}x+y-2z=0\\ 2x-3y+z=1\end{array}{r}_2\equiv \{\begin{array}{l}x=3t\\ y=1-2t\\ z=2+t\end{array}$

Calcula la ecuación del plano que contiene a $r_1$ y pasa por el punto de intersección del plano $\pi \equiv x-3y-2z+7=0$ y la recta $r_2$.

El plano pedido queda determinado por dos condiciones: contener a la recta $r_1$ y pasar por un punto que todavía hay que calcular. Procedemos en tres fases: i) hallamos ese punto, ii) sacamos un punto y el vector director de $r_1$, y iii) construimos el plano.

i) Calculamos el punto de intersección de $\pi$ con $r_2$. Sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en la del plano:

$3t-3(1-2t)-2(2+t)+7=0$

$3t-3+6t-4-2t+7=0\Rightarrow 7t=0\Rightarrow t=0$

$P=(3\cdot 0,1-2\cdot 0,2+0)=(0,1,2)$

ii) La recta $r_1$ viene dada como intersección de dos planos, de modo que su vector director es perpendicular a los dos vectores normales: lo obtenemos con su producto vectorial.

${\vec{n}}_1=(1,1,-2),{\vec{n}}_2=(2,-3,1)$

${\vec{v}}_{r_1}={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -2\\ 2& -3& 1\end{array}\mid =(-5,-5,-5)$

Como solo importa la dirección, tomamos el vector proporcional más sencillo:

${\vec{v}}_{r_1}=(1,1,1)$

Para tener un punto de $r_1$ damos el valor $z=0$ y resolvemos el sistema que queda:

$\{\begin{array}{l}x+y=0\\ 2x-3y=1\end{array}\Rightarrow x=-y\Rightarrow -5y=1\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{1}{5}},x={\displaystyle \frac{1}{5}}$

$Q({\displaystyle \frac{1}{5}},-{\displaystyle \frac{1}{5}},0)\in r_1$

iii) El plano contiene la dirección de $r_1$ y el vector que une $Q$ con $P$, así que su vector normal es el producto vectorial de ambos.

$\overrightarrow{QP}=(0,1,2)-({\displaystyle \frac{1}{5}},-{\displaystyle \frac{1}{5}},0)=(-{\displaystyle \frac{1}{5}},{\displaystyle \frac{6}{5}},2)$

${\vec{n}}_{\sigma }={\vec{v}}_{r_1}\times \overrightarrow{QP}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 1\\ -\frac{1}{5}& \frac{6}{5}& 2\end{array}\mid =({\displaystyle \frac{4}{5}},-{\displaystyle \frac{11}{5}},{\displaystyle \frac{7}{5}})$

Multiplicando por $5$ para quitar denominadores:

${\vec{n}}_{\sigma }=(4,-11,7)$

$\sigma :4x-11y+7z+D=0$

Imponemos que pase por $P(0,1,2)$:

$4\cdot 0-11\cdot 1+7\cdot 2+D=0\Rightarrow 3+D=0\Rightarrow D=-3$

Comprobamos que el punto $Q$ de la recta también lo verifica, lo que confirma que el plano contiene a $r_1$:

$4\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}-11\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{5}})+7\cdot 0-3={\displaystyle \frac{4}{5}}+{\displaystyle \frac{11}{5}}-3=0$

El plano pedido es $\sigma \equiv 4x-11y+7z-3=0$.