Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Cuestión 5.

Los puntos $A=(6,-4,4)$ y $B=(12,-1,1)$ son dos vertices de un triangulo. El tercer vertice $C$ es la proyección ortogonal del vertice $A$ sobre la recta
$r:\{\begin{array}{l}x-2y=5\\ x+2z=5\end{array}$
a) [1,5 p.] Calcule las coordenadas del vertice $C$.
b) [0,5 p.] Determine si el triangulo $\widehat{ABC}$ tiene un ángulo recto en el vertice $A$.
c) [0,5 p.] Calcule el area del triangulo $\widehat{ABC}$.

Empezamos escribiendo la recta en paramétricas. Su vector director es el producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen.

$\vec{d}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -2& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\mid =(-4,-2,2)\parallel (2,1,-1)$

Haciendo $y=0$ en el sistema resulta $x=5$ y $z=0$, así que la recta pasa por $P_0(5,0,0)$.

$r:\{\begin{array}{l}x=5+2t\\ y=t\\ z=-t\end{array}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtice}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}$

El vértice $C$ es el pie de la perpendicular trazada desde $A$, es decir, el punto de la recta para el que $\overrightarrow{AC}$ es perpendicular al director.

$C(5+2t,t,-t)\Rightarrow \overrightarrow{AC}=(2t-1,t+4,-t-4)$

$\overrightarrow{AC}\cdot \vec{d}=2(2t-1)+(t+4)+(t+4)=6t+6=0$

$t=-1\Rightarrow C(3,-1,1)$

Comprobamos que cumple las dos ecuaciones de la recta: $3+2=5$ y $3+2=5$.

El tercer vértice del triángulo es $C(3,-1,1)$.





El ángulo en $A$ es recto si los dos lados que salen de él son perpendiculares, así que calculamos su producto escalar.

$\overrightarrow{AB}=(6,3,-3),\overrightarrow{AC}=(-3,3,-3)$

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-18+9+9=0$

El producto escalar se anula, luego el triángulo tiene efectivamente un ángulo recto en el vértice $A$.



Al ser rectángulo en $A$, los dos lados que salen de ese vértice son los catetos y el área es su semiproducto.

$\mid \overrightarrow{AB}\mid =\sqrt{36+9+9}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}$

$\mid \overrightarrow{AC}\mid =\sqrt{9+9+9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3\sqrt{6}\cdot 3\sqrt{3}={\displaystyle \frac{9\sqrt{18}}{2}}={\displaystyle \frac{27\sqrt{2}}{2}}$

El área del triángulo es ${\displaystyle \frac{27\sqrt{2}}{2}}\approx \mathrm{19,09}$ unidades cuadradas.