Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Pregunta 3. Dados el plano $\pi :2x+2y-z=13$ y la recta
$r\equiv {\displaystyle \frac{x-2}{1}}={\displaystyle \frac{y}{1}}={\displaystyle \frac{z}{4}}\mathrm{.}$

a) (1 punto) Halle el punto simétrico del punto $P(2,0,0)$ respecto al plano $\pi$.

b) (1 punto) Responda solo a uno de los dos apartados siguientes:

b1) Halle la distancia entre el plano $\pi$ y la recta $r$.

b2) Halle una ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y es ortogonal al plano $\pi$.

Procedemos en tres fases: i) trazamos la recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $\pi$; ii) hallamos el pie $M$ como intersección de esa recta con el plano; iii) imponemos que $M$ sea el punto medio de $P$ y su simétrico.

Como la recta es perpendicular al plano, su vector director es el normal del plano.

${\vec{n}}_{\pi }=(2,2,-1)\Rightarrow s:(x,y,z)=(2+2t,2t,-t),t\in \mathbb{R}$

Sustituimos el punto genérico de $s$ en la ecuación del plano.

$2(2+2t)+2(2t)-(-t)=13\Rightarrow 4+9t=13\Rightarrow t=1$

$M=(4,2,-1)$

Al ser $M$ el punto medio del segmento $\overline{P{P}^{\mathrm{\prime }}}$, el simétrico se obtiene avanzando el doble desde $P$.

$P^{\mathrm{\prime }}=P+2(M-P)=(2,0,0)+2(2,2,-1)=(6,4,-2)$

El simétrico de $P$ respecto del plano es el punto $P^{\mathrm{\prime }}(6,4,-2)$.



$\mathbf{\text{b1)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}$

Antes de calcular nada estudiamos la posición relativa: la distancia solo tiene sentido si la recta es paralela al plano, es decir, si su director es perpendicular al normal.

${\vec{v}}_r=(1,1,4),{\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=2+2-4=0$

$A(2,0,0)\in r,2\cdot 2+2\cdot 0-0=4\mathrm{\ne }13\Rightarrow A\mathrm{\notin }\pi$

La recta es paralela al plano y no está contenida en él, luego todos sus puntos equidistan de $\pi$ y basta medir desde $A$.

$d(r,\pi )=d(A,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2\cdot 2+2\cdot 0-0-13\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+2^2+(-1{)}^2}}}={\displaystyle \frac{9}{3}}=3$

La distancia entre la recta y el plano es de 3 unidades de longitud.

$\mathbf{\text{b2)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{ortogonal}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

El plano buscado $\alpha$ contiene a $r$, de modo que pasa por $A(2,0,0)$ y lleva la dirección ${\vec{v}}_r$. Ser ortogonal a $\pi$ obliga además a que contenga la dirección de ${\vec{n}}_{\pi }$. Su vector normal es entonces el producto vectorial de ambas.

${\vec{n}}_{\alpha }={\vec{v}}_r\times {\vec{n}}_{\pi }=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 4\\ 2& 2& -1\end{array}\mid =(-9,9,0)$

Dividimos entre $-9$, que no cambia la dirección, y escribimos la ecuación por el punto $A$.

${\vec{n}}_{\alpha }=(1,-1,0)\Rightarrow 1(x-2)-1(y-0)+0(z-0)=0$

$\alpha :x-y-2=0$

El plano que contiene a $r$ y es ortogonal a $\pi$ es $x-y-2=0$.