Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Cuestión 6.

Considere el plano $\pi$ de ecuación $\pi :3x-y-2z=5$ y la recta $r$ dada por
$r:{\displaystyle \frac{x-a}{1}}={\displaystyle \frac{y-3+a}{1}}={\displaystyle \frac{z}{1}}$.
a) [1,25 p.] Estudie la posición relativa del plano $\pi$ y de la recta $r$ en función del parámetro $a$.
Se sabe que cuando $a=0$ la recta $r$ es paralela al plano $\pi$. Para ese valor de $a$:
b) [0,75 p.] Calcule la distancia de la recta $r$ al plano $\pi$.
c) [0,5 p.] Calcule la ecuación general (o implícita) del plano que contiene a la recta $r$ y es paralelo al plano $\pi$.

Del plano $\pi :3x-y-2z=5$ tomamos su vector normal, y de la recta un punto de paso y su vector director.

$\vec{n}=(3,-1,-2);P(a,3-a,0),\vec{u}=(1,1,1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}$

La posición relativa se decide comparando el director de la recta con la normal del plano.

$\vec{n}\cdot \vec{u}=3-1-2=0$

El producto escalar se anula para cualquier valor del parámetro, así que la recta nunca corta al plano en un solo punto: o es paralela a él o está contenida. Para distinguirlo comprobamos cuándo su punto de paso pertenece al plano.

$3a-(3-a)-0=4a-3$

$4a-3=5\Rightarrow a=2$

Si $a=2$ la recta está contenida en el plano; para cualquier otro valor de $a$ es paralela a él y exterior. En particular lo es para $a=0$, como dice el enunciado.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

Con $a=0$ el punto de paso es $P(0,3,0)$ y, al ser la recta paralela al plano, todos sus puntos equidistan de él.

$d(r,\pi )=d(P,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }3\cdot 0-3-2\cdot 0-5\mathrm{\mid }}{\sqrt{9+1+4}}}={\displaystyle \frac{8}{\sqrt{14}}}$

$d(r,\pi )={\displaystyle \frac{8\sqrt{14}}{14}}={\displaystyle \frac{4\sqrt{14}}{7}}$

La distancia de la recta al plano es ${\displaystyle \frac{4\sqrt{14}}{7}}\approx \mathrm{2,14}$ unidades de longitud.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{general}}\mathbf{\text{(o}}\mathbf{\text{impl}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cita)}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{paralelo}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

Dos planos paralelos comparten vector normal, así que el buscado es de la forma ${\pi }^{\mathrm{\prime }}:3x-y-2z=k$, y basta imponer que pase por el punto de la recta.

$3\cdot 0-3-2\cdot 0=k\Rightarrow k=-3$

Como además $\vec{u}\cdot \vec{n}=0$, la dirección de la recta es paralela a ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ y, al contener un punto suyo, lo contiene entero.

El plano pedido es ${\pi }^{\mathrm{\prime }}:3x-y-2z=-3$.