Examen de Matemáticas II de Región de Murcia 2023 (convocatoria ordinaria)

Cuestión 1.

Una papelería vende bolígrafos, rotuladores y libretas. Una libreta cuesta el doble que un bolígrafo y un rotulador juntos, un bolígrafo cuesta la sexta parte que una libreta, y un rotulador cuesta el doble que un bolígrafo.
a) [0,75 p.] Denotando por $x$ el precio de cada bolígrafo, por $y$ el de cada rotulador y por $z$ el de cada libreta, plantee un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que represente los datos del ejercicio.
b) [0,25 p.] Justifique que, con estos datos, no se puede conocer el precio de cada uno de los tres productos.
c) [1 p.] Calcule el conjunto de todas las posibles soluciones del sistema.
d) [0,5 p.] Sabiendo que una libreta cuesta 18 euros, calcule el precio de cada producto.

Cuestión 2.

Considere las siguientes matrices:
$A=\left(\begin{array}{cc}a& a\\ -1& a\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}-1& -4\\ 2& 3\end{array}\right)\text{y}C=\left(\begin{array}{cc}5& -6\\ -2& 3\end{array}\right)$
a) [0,5 p.] Determine para qué valores del parámetro $a$ la matriz $A$ es regular (o invertible).
Se sabe que cuando $a=-2$ la matriz $A$ es regular (o invertible). Para ese valor de $a$:
b) [1 p.] Calcule la inversa de $A$ y compruebe que $A\cdot A^{-1}=I$, con $I$ la matriz identidad de orden 2.
c) [1 p.] Resuelva la ecuación matricial $AX{A}^{-1}+B=C^{\mathrm{\top }}$, donde $C^{\mathrm{\top }}$ denota la matriz traspuesta de $C$.

Cuestión 3.

Calcule los siguientes límites:
a) [1,25 p.] ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos (2x)-1}{x\mathrm{sen}(x)}}$.
b) [1,25 p.] ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{9+x}-\sqrt{9-x}}{3x}}$.

Cuestión 4.

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}}$, definida para todo valor de $x\in \mathbb{R}$.
a) [0,5 p.] Calcule ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$.
b) [0,5 p.] Calcule la derivada de $f(x)$ y determine los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la función $f(x)$.
c) [1 p.] Calcule la integral indefinida de la función $f(x)$.
d) [0,5 p.] Determine la primitiva de $f(x)$ que pasa por el punto $(1,1)$.

Cuestión 5.

Considere las siguientes rectas:
$r:\{\begin{array}{ll}x-2y& =5\\ y+z& =0\end{array}\text{y}s:{\displaystyle \frac{x-8}{2}}={\displaystyle \frac{y+3}{1}}={\displaystyle \frac{z-3}{-1}}$.
a) [1 p.] Compruebe que ambas rectas son paralelas.
b) [1 p.] Compruebe que el punto $P=(7,1,-1)$ está en la recta $r$ y calcule su proyección ortogonal sobre la recta $s$.
c) [0,5 p.] Calcule la distancia entre ambas rectas.

Cuestión 6.

Considere el plano $\pi$ de ecuación $\pi :3x-y-2z=5$ y la recta $r$ dada por
$r:{\displaystyle \frac{x-a}{1}}={\displaystyle \frac{y-3+a}{1}}={\displaystyle \frac{z}{1}}$.
a) [1,25 p.] Estudie la posición relativa del plano $\pi$ y de la recta $r$ en función del parámetro $a$.
Se sabe que cuando $a=0$ la recta $r$ es paralela al plano $\pi$. Para ese valor de $a$:
b) [0,75 p.] Calcule la distancia de la recta $r$ al plano $\pi$.
c) [0,5 p.] Calcule la ecuación general (o implícita) del plano que contiene a la recta $r$ y es paralelo al plano $\pi$.

Cuestión 7.

Dos urnas A y B contienen bolas de colores con la siguiente composición: La urna A contiene 3 bolas verdes, 3 bolas rojas y 4 bolas negras, y la urna B contiene 1 bola verde, 3 bolas rojas y 5 bolas negras. Se saca al azar una bola de la urna A y se mete en la urna B. A continuación, se saca al azar una bola de la urna B. Calcule:
a) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola que se saca de la urna B sea negra, sabiendo que la bola que se sacó de la urna A era verde.
b) [1 p.] La probabilidad de que la bola que se saca de la urna B sea negra.
c) [1 p.] La probabilidad de que la bola que se sacó de la urna A fuera verde, sabiendo que la bola que se ha sacado de la urna B ha sido negra.

Cuestión 8.

En este ejercicio trabaje con 4 decimales para las probabilidades.
Se lanza una moneda al aire 100 veces y se anota el resultado del lanzamiento, que puede ser cara o cruz con la misma probabilidad. Determine:
a) [0,5 p.] Qué distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de veces que sale cara.
b) [0,5 p.] Calcule la media y la desviación típica de esta distribución.
c) [0,5 p.] Cuál es la probabilidad de que salga cara 60 veces.
d) [1 p.] Cuál es la probabilidad de que el número de veces que sale cara sea mayor o igual que 55.