Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Cuestión 4.

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}}$, definida para todo valor de $x\in \mathbb{R}$.
a) [0,5 p.] Calcule ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$.
b) [0,5 p.] Calcule la derivada de $f(x)$ y determine los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la función $f(x)$.
c) [1 p.] Calcule la integral indefinida de la función $f(x)$.
d) [0,5 p.] Determine la primitiva de $f(x)$ que pasa por el punto $(1,1)$.

Numerador y denominador son polinomios del mismo grado, así que dividimos ambos por $x^2$.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{x^2}+1}}=1$

El límite vale $1$, de modo que la recta $y=1$ es asíntota horizontal.



Derivamos por la regla del cociente y simplificamos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x(1+x^2)-x^2\cdot 2x}{(1+x^2{)}^2}}={\displaystyle \frac{2x}{(1+x^2{)}^2}}$

El denominador es siempre positivo, así que el signo de la derivada lo marca el numerador, que se anula solo en $x=0$.

$x<0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)<0;x>0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$

La función decrece en $(-\mathrm{\infty },0)$ y crece en $(0,+\mathrm{\infty })$, con un mínimo en el origen.





Como los dos polinomios tienen el mismo grado, empezamos separando la fracción sumando y restando uno en el numerador.

${\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}}={\displaystyle \frac{(1+x^2)-1}{1+x^2}}=1-{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$

$\int {\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}}dx=\int dx-\int {\displaystyle \frac{dx}{1+x^2}}$

La segunda integral es la del arcotangente:

$\int {\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}}dx=x-\mathrm{arctg}x+C$



De la familia anterior hay que quedarse con la que cumple $F(1)=1$, y esa condición fija la constante.

$1-\mathrm{arctg}1+C=1\Rightarrow 1-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+C=1$

$C={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

La primitiva pedida es $F(x)=x-\mathrm{arctg}x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.