Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Cuestión 5.

Considere las siguientes rectas:
$r:\{\begin{array}{ll}x-2y& =5\\ y+z& =0\end{array}\text{y}s:{\displaystyle \frac{x-8}{2}}={\displaystyle \frac{y+3}{1}}={\displaystyle \frac{z-3}{-1}}$.
a) [1 p.] Compruebe que ambas rectas son paralelas.
b) [1 p.] Compruebe que el punto $P=(7,1,-1)$ está en la recta $r$ y calcule su proyección ortogonal sobre la recta $s$.
c) [0,5 p.] Calcule la distancia entre ambas rectas.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{paralelas.}}$

De la recta $r$, dada como intersección de dos planos, obtenemos el director como producto vectorial de las dos normales; el de $s$ se lee directamente de su ecuación continua.

$\vec{u}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -2& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\mid =(-2,-1,1)$

$\vec{v}=(2,1,-1)$

$\vec{u}=-\vec{v}$

Los directores son proporcionales, luego las rectas tienen la misma dirección. Falta comprobar que no son la misma recta: el punto $Q(8,-3,3)$ de $s$ no cumple la primera ecuación de $r$, porque $8+6=14\mathrm{\ne }5$.

Por tanto $r$ y $s$ son paralelas y distintas.



Sustituimos las coordenadas de $P$ en las dos ecuaciones de $r$:

$7-2\cdot 1=5,1+(-1)=0$

Se cumplen ambas, luego $P\in r$. Para proyectarlo sobre $s$ tomamos su punto de paso $Q(8,-3,3)$ y proyectamos el vector $\overrightarrow{QP}$ sobre la dirección de la recta.

$\overrightarrow{QP}=(-1,4,-4),\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2=6$

$t={\displaystyle \frac{\overrightarrow{QP}\cdot \vec{v}}{\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2}}={\displaystyle \frac{-2+4+4}{6}}=1$

$P^{\mathrm{\prime }}=Q+t\vec{v}=(8,-3,3)+(2,1,-1)=(10,-2,2)$

La proyección ortogonal de $P$ sobre la recta $s$ es el punto $P^{\mathrm{\prime }}(10,-2,2)$.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{rectas.}}$

Al ser paralelas, la distancia entre ellas es la de cualquier punto de una a la otra, y ya tenemos el punto y su proyección.

$\overrightarrow{P{P}^{\mathrm{\prime }}}=(3,-3,3)$

$d(r,s)=\sqrt{9+9+9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$

La distancia entre las dos rectas es $3\sqrt{3}\approx \mathrm{5,20}$ unidades de longitud.