Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Cuestión 3.

Calcule los siguientes límites:
a) [1,25 p.] ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos (2x)-1}{x\mathrm{sen}(x)}}$.
b) [1,25 p.] ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{9+x}-\sqrt{9-x}}{3x}}$.

Al sustituir aparece la indeterminación $\frac{0}{0}$. La deshacemos con la fórmula del ángulo doble $\cos (2x)=1-2{\mathrm{sen}}^{2}x$, que convierte el numerador en un cuadrado de senos.

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{-2{\mathrm{sen}}^{2}x}{x\mathrm{sen}x}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{-2\mathrm{sen}x}{x}}$

Ahora basta el límite notable ${\lim }_{x\to 0}\frac{\mathrm{sen}x}{x}=1$:

$=-2\cdot 1=-2$

El límite vale $-2$: la función tiene en el origen una discontinuidad evitable y su gráfica se acerca a esa altura.





De nuevo una indeterminación $\frac{0}{0}$, esta vez con una diferencia de raíces: multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador.

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{(9+x)-(9-x)}{3x(\sqrt{9+x}+\sqrt{9-x})}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2x}{3x(\sqrt{9+x}+\sqrt{9-x})}}$

Simplificamos la $x$, que es lo que producía la indeterminación, y sustituimos:

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2}{3(\sqrt{9+x}+\sqrt{9-x})}}={\displaystyle \frac{2}{3(3+3)}}={\displaystyle \frac{2}{18}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$

El límite vale ${\displaystyle \frac{1}{9}}$, y de nuevo se trata de una discontinuidad evitable en el origen.