Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

A.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

a) (1.25 puntos) Calcule, en caso de existir, el valor de los siguientes límites:

a.1) (0.5 puntos) ${\lim }_{x\to 0}\frac{x^2(1-2x)}{x-2x^2-\sin x}$

a.2) (0.75 puntos) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\left(\frac{1}{x}(\frac{3}{x}-\frac{2}{\sin \frac{1}{x}})\right)$
(Indicación: use el cambio de variable $t=1\mathrm{/}x$ donde sea necesario).

b) (1.25 puntos) Calcule las siguientes integrales:
b.1) (0.5 puntos) $\int \frac{x}{x^2-1}dx$

b.2) (0.75 puntos) ${\int }_0^1{x}^2{e}^{-x}dx$

Al sustituir aparece una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, así que aplicamos la regla de L'Hôpital, derivando numerador y denominador por separado.

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{x^2-2x^3}{x-2x^2-\mathrm{sen}x}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2x-6x^2}{1-4x-\cos x}}$

Vuelve a salir $\frac{0}{0}$, de modo que repetimos.

$={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2-12x}{-4+\mathrm{sen}x}}={\displaystyle \frac{2}{-4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$



Seguimos la indicación del enunciado: con el cambio $t=\frac{1}{x}$, cuando $x$ tiende a infinito $t$ tiende a cero.

${\lim }_{t\to 0}t(3t-{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{sen}t}})={\lim }_{t\to 0}{\displaystyle \frac{3t^2\mathrm{sen}t-2t}{\mathrm{sen}t}}$

Es de nuevo $\frac{0}{0}$; aplicamos L'Hôpital.

$={\lim }_{t\to 0}{\displaystyle \frac{6t\mathrm{sen}t+3t^2\cos t-2}{\cos t}}={\displaystyle \frac{-2}{1}}=-2$



El numerador es, salvo un factor 2, la derivada del denominador, así que es un logaritmo inmediato.

$\int {\displaystyle \frac{x}{x^2-1}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\int {\displaystyle \frac{2x}{x^2-1}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \mid x^2-1\mid +C$



Es el producto de un polinomio por una exponencial, así que integramos por partes derivando el polinomio; hay que hacerlo dos veces para bajarlo a grado cero.

$u=x^2\Rightarrow du=2xdx;dv=e^{-x}dx\Rightarrow v=-e^{-x}$

$\int x^2{e}^{-x}dx=-x^2{e}^{-x}+2\int x{e}^{-x}dx=-x^2{e}^{-x}-2x{e}^{-x}+2\int e^{-x}dx$

$=-(x^2+2x+2)e^{-x}$



Aplicamos la regla de Barrow.

${\int }_0^1{x}^2{e}^{-x}dx={[-(x^2+2x+2)e^{-x}]}_0^1=-5e^{-1}+2$

$=2-{\displaystyle \frac{5}{e}}=\mathrm{0,1606}$