Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

PREGUNTA 3. Análisis. (2 puntos)
Dada la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+bx-1& \text{si }x\le 0,\\ {\displaystyle \frac{k-x{\mathrm{e}}^x}{x}}& \text{si }x>0,\end{array}$ se pide responder a las siguientes cuestiones:

a) ¿Cuál es el valor de $k$ que hace que $f$ sea continua en $x=0$ para cualquier valor de $b$?
b) ¿Para qué valores de $b$ y $k$ es $f$ derivable en $x=0$?

Cada rama es continua en su tramo, así que el único punto dudoso es el empalme. Empezamos por el valor de la función, que lo da la primera rama porque incluye el $x=0$.

$f(0)=0^2+b\cdot 0-1=-1$

${\lim }_{x\to 0^{-}}(x^2+bx-1)=-1$

Obsérvese que este valor no depende de $b$. Estudiamos ahora el límite por la derecha:

${\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{k-x{e}^x}{x}}={\displaystyle \frac{k-0}{0}}={\displaystyle \frac{k}{0}}$

Si $k\mathrm{\ne }0$ ese límite es infinito y la función no puede ser continua; la única posibilidad es $k=0$, que además deshace la indeterminación al simplificar la $x$.

${\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{-x{e}^x}{x}}={\lim }_{x\to 0^{+}}(-e^x)=-e^0=-1$

Con $k=0$ los dos límites laterales valen $-1$ y coinciden con $f(0)$, sea cual sea $b$. Por tanto, $k=0$.



La derivabilidad exige la continuidad, luego se mantiene $k=0$ y la segunda rama se reduce a $f(x)=-e^x$ para $x>0$. Derivamos cada tramo:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}2x+b& \text{si }x<0\\ -e^x& \text{si }x>0\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{-})=2\cdot 0+b=b{f}^{\mathrm{\prime }}(0^{+})=-e^0=-1$

Igualando las derivadas laterales:

$b=-1$

La función es derivable en $x=0$ únicamente para $k=0$ y $b=-1$, y entonces $f^{\mathrm{\prime }}(0)=-1$.