Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Sea $f(x)={\displaystyle \frac{4x^3}{x^2+1}}\ln (x)$. Calcule $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$. [2 puntos]

La función solo está definida para $x>0$, que es por lo que el límite se toma por la derecha. Al sustituir aparece una indeterminación, porque el primer factor tiende a cero y el logaritmo tiende a $-\mathrm{\infty }$.

${\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{4x^3}{x^2+1}}\ln (x)=0\cdot (-\mathrm{\infty })$

El denominador $x^2+1$ tiende a $1$ y no interviene en la indeterminación, así que basta estudiar el producto $4x^3\ln (x)$.

${\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{4x^3}{x^2+1}}\ln (x)={\displaystyle \frac{1}{1}}{\lim }_{x\to 0^{+}}4x^3\ln (x)$

Para deshacer la indeterminación escribimos el producto como un cociente, pasando la potencia al denominador:

${\lim }_{x\to 0^{+}}4x^3\ln (x)={\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{4\ln (x)}{x^{-3}}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{\infty }}{+\mathrm{\infty }}}$

Aplicando la regla de L'Hôpital, derivando numerador y denominador por separado:

${\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{4\ln (x)}{x^{-3}}}={\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4}{x}}}{-3x^{-4}}}={\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{-4x^4}{3x}}={\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{-4x^3}{3}}=0$

El límite de la función cuando $x$ tiende a cero por la derecha vale $0$: el logaritmo se hace infinitamente grande en valor absoluto, pero el factor $x^3$ tiende a cero con mucha más rapidez y se impone.