Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos. Dada la función real de variable real definida sobre su dominio como $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^2}{2+x^2}}& \text{si }x\le -1\\ {\displaystyle \frac{2x^2}{3-3x}}& \text{si }x>-1\end{array}$, se pide:

a) (0.75 puntos) Estudiar la continuidad de la función en $\mathbb{R}$.
b) (1 punto) Calcular el siguiente límite: ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}f(x{)}^{2x^2-1}$.
c) (0.75 puntos) Calcular la siguiente integral: ${\int }_{-1}^{0}f(x)dx$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{continuidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbb{R}\mathbf{\text{.}}$

Cada trozo es un cociente de polinomios, continuo donde no se anule el denominador. El primero lo tiene siempre positivo; el segundo se anula en $x=1$, que pertenece a su intervalo.

$2+x^2>0\mathrm{\forall }x;3-3x=0\Rightarrow x=1$

Queda por estudiar el punto de empalme, donde comparamos los dos límites laterales con el valor de la función.

${\lim }_{x\to -1^{-}}{\displaystyle \frac{x^2}{2+x^2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}=f(-1);{\lim }_{x\to -1^{+}}{\displaystyle \frac{2x^2}{3-3x}}={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Los tres valores coinciden, así que la función es continua en $x=-1$. En cambio, en $x=1$ ni siquiera está definida.

${\lim }_{x\to 1^{-}}{\displaystyle \frac{2x^2}{3-3x}}=+\mathrm{\infty };{\lim }_{x\to 1^{+}}{\displaystyle \frac{2x^2}{3-3x}}=-\mathrm{\infty }$

La función es continua en todo $\mathbb{R}$ salvo en $x=1$, donde presenta una discontinuidad de salto infinito y una asíntota vertical.





Cuando $x$ tiende a $-\mathrm{\infty }$ trabajamos con el primer trozo. La base tiende a 1 y el exponente a infinito: es una indeterminación del tipo $1^{\mathrm{\infty }}$.

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2}{2+x^2}}=1;{\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}(2x^2-1)=+\mathrm{\infty }$

Aplicamos la fórmula del número $e$ para este tipo de indeterminación, que sustituye el logaritmo por el producto del exponente por la base menos uno.

$L=e^{\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(2x^2-1)(\frac{x^2}{2+x^2}-1)}$

${\displaystyle \frac{x^2}{2+x^2}}-1={\displaystyle \frac{x^2-2-x^2}{2+x^2}}={\displaystyle \frac{-2}{2+x^2}}$

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{-2(2x^2-1)}{2+x^2}}=-4$

$L=e^{-4}$



En el intervalo de integración manda el segundo trozo, salvo en el extremo, que no afecta al valor de la integral. Como el numerador es de grado mayor que el denominador, dividimos.

${\int }_{-1}^0{\displaystyle \frac{2x^2}{3-3x}}dx={\displaystyle \frac{2}{3}}{\int }_{-1}^0{\displaystyle \frac{x^2}{1-x}}dx$

${\displaystyle \frac{x^2}{1-x}}=-(x+1)+{\displaystyle \frac{1}{1-x}}$

$={\displaystyle \frac{2}{3}}{[-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x-\ln \mathrm{\mid }1-x\mathrm{\mid }]}_{-1}^0$

Aplicamos la regla de Barrow.

$={\displaystyle \frac{2}{3}}[0-(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+1-\ln 2)]={\displaystyle \frac{2}{3}}(\ln 2-{\displaystyle \frac{1}{2}})$

$={\displaystyle \frac{2\ln 2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}=\mathrm{0,1288}$