Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

3. Análisis:

a) Calcule ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\cos }^{2}x-1}{1+2x-{\mathrm{e}}^{2x}}}$.
b) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f(x)=x(\ln x-1)$. Calcule, si existen, los máximos y mínimos relativos de la función $f$.

Al sustituir, el numerador vale $1-1=0$ y el denominador $1+0-1=0$, de modo que tenemos la indeterminación $\frac{0}{0}$. Aplicamos la regla de L'Hôpital.



Sustituyendo de nuevo sale $\frac{0}{0}$, así que derivamos otra vez. Conviene escribir antes el numerador como $-\sin 2x$.



El límite vale ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.



El logaritmo obliga a que $x>0$, así que $\text{Dom }f=(0,+\mathrm{\infty })$. Derivamos como un producto.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1\cdot (\ln x-1)+x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}=\ln x-1+1=\ln x$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \ln x=0\Rightarrow x=1$

Estudiamos el signo de la derivada a cada lado del punto crítico, siempre dentro del dominio.

$x\in (0,1)\Rightarrow \ln x<0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow f\text{ es decreciente}$

$x\in (1,+\mathrm{\infty })\Rightarrow \ln x>0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow f\text{ es creciente}$



La función pasa de decreciente a creciente en $x=1$, luego ahí hay un mínimo relativo.

$f(1)=1\cdot (\ln 1-1)=1\cdot (0-1)=-1$

En resumen: $f$ decrece en $(0,1)$ y crece en $(1,+\mathrm{\infty })$, tiene un mínimo relativo en $(1,-1)$ y no tiene ningún máximo relativo.