Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Problema 5.

Consideramos la función $f(x)=\frac{-2x^2+x+1}{2x^2+5x+2}$.

a) Comprobar que $x=-\frac{1}{2}$ es una discontinuidad evitable. (2 puntos)
b) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (4 puntos)
c) Obtener $\int f(x)dx$. (4 puntos)

$x=-\frac{1}{2}$ es discontinuidad evitable de f$(x)$ si

$\{\begin{array}{l}\text{a) No existe }f\text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{1}{2})\\ \text{b) Existe }{\displaystyle \underset{x\to -\frac{1}{2}}{\lim }f(x)}\end{array}$

a)$f(-\frac{1}{2})=\frac{-2{(-\frac{1}{2})}^2+(-\frac{1}{2})+1}{2{(-\frac{1}{2})}^2+5(-\frac{1}{2})+2}=\frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{2}-\frac{5}{2}+2}\frac{0}{0}\Rightarrow \text{No existe }f!(-\frac{1}{2})$

El cálculo realizado anteriormente indica que $-\frac{1}{2}$ es raíz del numerador y denominador, por lo que podemos simplificar la expresión de f$(x)$.

$-2x^2+x+1=0\Rightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{1-4(-2)(1)}}{-4}=\frac{-1\pm 3}{-4}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{-1+3}{-4}=-\frac{1}{2}\\ x_2=\frac{-1-3}{-4}=1\end{array}\Rightarrow -2x^2+x+1=-2(x+\frac{1}{2})(x-1)$

$2x^2+5x+2=0\Rightarrow x=\frac{-5\pm \sqrt{25-16}}{4}=\frac{-5\pm 3}{4}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{-5+3}{4}=-\frac{1}{2}\\ x_2=\frac{-5-3}{4}=-2\end{array}\Rightarrow 2x^2+5x+2=2(x+\frac{1}{2})(x+2)$

Entonces

$f(x)=\frac{-2x^2+x+1}{2x^2+5x+2}=\frac{-2(x+\frac{1}{2})(x-1)}{2(x+\frac{1}{2})(x+2)}=\frac{-(x-1)}{x+2}=\frac{-x+1}{x+2}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$

${\lim }_{x\to -\frac{1}{2}}f(x)={\lim }_{x\to -\frac{1}{2}}\frac{-x+1}{x+2}\frac{-(-\frac{1}{2})+1}{-\frac{1}{2}+2}\frac{\frac{1}{2}+1}{\frac{3}{2}}=\frac{3\mathrm{/}2}{3\mathrm{/}2}=1\Rightarrow \text{Existe }{\lim }_{x\to -\frac{1}{2}}f(x)$

Hemos comprobado las dos condiciones por tanto f(x) tiene una discontinuidad evitable en $x=-\frac{1}{2}$.

b) Monotonía de $f(x)$.

En el apartado anterior hemos obtenido las raíces del denominador de $f(x)$. Por tanto sabemos que

$\text{Dom }f(x)=\mathbb{R}\setminus \{-2,-\frac{1}{2}\},\lambda \in \mathbb{R}$

$\text{Dom }f(x)=\mathbb{R}\setminus \{-2,-\frac{1}{2}\}$

También hemos simplificado la expresión de $f(x)$ que será la que utilicemos para obtener $f\text{′}(x)$.

$f(x)=\frac{-x+1}{x+2}=\frac{-1(x+2)-(-x+1)}{(x+2)}=\frac{-x-2+x-1}{(x+2)}=\frac{-3}{(x+2{)}^2}$

Como el denominador de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ está elevado al cuadrado es positivo, por tanto el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sólo depende del numerador que es un número negativo. Por tanto $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ es negativa en su dominio.

$f(x)$ es decreciente en

$\mathbb{R}\setminus \{-2,-\frac{1}{2}\}$



Para el cálculo de la integral utilizamos la expresión simplificada de

$f(x)=\frac{-x+1}{x+2}$

Como los dos polinomios son del mismo grado efectuamos la división,

$\frac{-x+1}{x+2}=\frac{-x-2+3}{x+2}=\frac{-x-2}{x+2}+\frac{3}{x+2}=-1+\frac{3}{x+2}$

Luego,

$\int \frac{-x+1}{x+2}dx=\int (-1+\frac{3}{x+2})dx=\int (-1)dx+\int \frac{3}{x+2}dx=-x+3\ln \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }+C$

Finalmente,

$\int f(x),dx=-x+3\ln \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }+C$