Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Cuestión 3.

Considere la función $f(x)$ dada por $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\ln x}{x-1}}& \text{si }x>0\text{ y }x\mathrm{\ne }1\\ a& \text{si }x=1\end{array}$
a) [0,5 p.] Calcule el limite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $+\mathrm{\infty }$.
b) [1 p.] Determine el valor de $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x=1$.
c) [1 p.] Estudie si, para dicho valor de $a$, la función $f(x)$ es derivable en $x=1$. En caso afirmativo, calcule el valor de la derivada de $f$ en $x=1$.

Para valores grandes actúa el primer trozo, y al sustituir aparece la indeterminación $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$: aplicamos L'Hôpital.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\ln x}{x-1}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\frac{1}{x}}{1}}=0$

El límite vale $0$, luego $y=0$ es asíntota horizontal.





La función es continua en ese punto cuando el límite coincide con el valor, que aquí es precisamente el parámetro. Calculamos el límite, que vuelve a ser una indeterminación $\frac{0}{0}$.

${\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{\ln x}{x-1}}={\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{\frac{1}{x}}{1}}=1$

Para que haya continuidad debe ser $a=1$: es el valor que tapa el hueco de la gráfica.



Como el primer trozo no está definido en $x=1$, hay que acudir a la definición de derivada.

$f^{\mathrm{\prime }}(1)={\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{f(x)-f(1)}{x-1}}={\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{\frac{\ln x}{x-1}-1}{x-1}}$

Reducimos a común denominador el numerador:

$f^{\mathrm{\prime }}(1)={\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{\ln x-(x-1)}{(x-1{)}^2}}$

Es una indeterminación $\frac{0}{0}$ y aplicamos L'Hôpital:

$={\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{\frac{1}{x}-1}{2(x-1)}}={\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{-(x-1)}{2x(x-1)}}={\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{-1}{2x}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

El límite existe y es finito, así que para $a=1$ la función sí es derivable en $x=1$, con $f^{\mathrm{\prime }}(1)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.