Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Sea la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}b{e}^x+a+1,& x\le 0,\\ a{x}^2+b(x+3),& 0<x\le 1,\\ a\cos (\pi x)+7bx,& x>1.\end{array}$

a) Calcule los valores de $a$ y $b$ para los cuales la función $f(x)$ es continua. [5 puntos]

b) Sean $a=3$ y $b=2$; calcule el área comprendida entre $x=-1$, $x=0$ y el eje $OX$. [5 puntos]

Cada uno de los tres trozos es continuo allí donde está definido, por ser combinación de exponenciales, polinomios y cosenos. Los únicos puntos dudosos son los de empalme, $x=0$ y $x=1$, y en ellos hay que imponer que los límites laterales coincidan con el valor de la función.

En $x=0$:

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=b{e}^0+a+1=a+b+1$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=a\cdot 0^2+b(0+3)=3b$

$a+b+1=3b\Rightarrow a+1=2b$

En $x=1$:

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a\cdot 1^2+b(1+3)=a+4b$

${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=a\cos (\pi )+7b=-a+7b$

$a+4b=-a+7b\Rightarrow 2a=3b$

Resolvemos el sistema formado por las dos condiciones. De la segunda, $b=\frac{2a}{3}$, y sustituyendo en la primera:

$a+1=2\cdot {\displaystyle \frac{2a}{3}}={\displaystyle \frac{4a}{3}}\Rightarrow 1={\displaystyle \frac{4a}{3}}-a={\displaystyle \frac{a}{3}}\Rightarrow a=3$

$b={\displaystyle \frac{2\cdot 3}{3}}=2$

La función es continua únicamente para $a=3$ y $b=2$.



En el intervalo $[-1,0]$ actúa la primera rama de la función, que con esos valores de los parámetros queda

$f(x)=2e^x+3+1=2e^x+4$

Antes de integrar comprobamos el signo: la exponencial es siempre positiva, de modo que $f(x)>4>0$ y no hace falta partir la integral.

$\mathcal{A}={\int }_{-1}^0(2e^x+4)dx={[2e^x+4x]}_{-1}^0$

$\mathcal{A}=(2e^0+0)-(2e^{-1}-4)=2-{\displaystyle \frac{2}{e}}+4$

$\mathcal{A}=6-{\displaystyle \frac{2}{e}}\approx \mathrm{5,264}$

El área comprendida entre la gráfica, el eje de abscisas y las rectas $x=-1$ y $x=0$ es $6-\frac{2}{e}\approx \mathrm{5,26}$ unidades de área.