Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Dada la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^2+a}{2x-4}}& \text{si }x\le 0,\\ 10x^2+x+b& \text{si }x>0.\end{array}$

a) Calcule la condición que han de cumplir los parámetros $a$ y $b$ para que la función $y=f(x)$ sea continua. [3 puntos]

b) Calcule $f^{\mathrm{\prime }}(x)$. [4 puntos]

c) Encuentre la condición y calcule los parámetros $a$ y $b$ para que la función $y=f(x)$ sea derivable. [3 puntos]

Cada rama es continua donde está definida: la primera es un cociente de polinomios cuyo denominador solo se anula en $x=2$, que no pertenece a ese trozo, y la segunda es un polinomio. El único punto dudoso es el empalme $x=0$, donde imponemos que coincidan los límites laterales.

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\displaystyle \frac{0^2+a}{2\cdot 0-4}}={\displaystyle \frac{a}{-4}}=-{\displaystyle \frac{a}{4}}$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=10\cdot 0^2+0+b=b$

$f(0)=-{\displaystyle \frac{a}{4}}$

$-{\displaystyle \frac{a}{4}}=b\Rightarrow a=-4b$

La función es continua si y solo si los parámetros cumplen la relación $a=-4b$.



Derivamos cada rama por separado. La primera, con la regla del cociente:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x(2x-4)-2(x^2+a)}{(2x-4{)}^2}}={\displaystyle \frac{4x^2-8x-2x^2-2a}{(2x-4{)}^2}}={\displaystyle \frac{2x^2-8x-2a}{(2x-4{)}^2}}$

La segunda es un polinomio:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=20x+1$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2x^2-8x-2a}{(2x-4{)}^2}}& \text{si }x<0\\ 20x+1& \text{si }x>0\end{array}$

En $x=0$ la derivada solo existirá si coinciden las dos derivadas laterales, que es justo lo que estudia el apartado siguiente.



Para que sea derivable en $x=0$ tiene que ser antes continua, así que arrastramos la condición del apartado a) y añadimos la igualdad de las derivadas laterales.

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{-})={\displaystyle \frac{0-0-2a}{(-4{)}^2}}={\displaystyle \frac{-2a}{16}}=-{\displaystyle \frac{a}{8}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{+})=20\cdot 0+1=1$

$-{\displaystyle \frac{a}{8}}=1\Rightarrow a=-8$

Llevamos ese valor a la condición de continuidad:

$a=-4b\Rightarrow -8=-4b\Rightarrow b=2$

La función es derivable únicamente para $a=-8$ y $b=2$, valores que cumplen a la vez las dos condiciones, la de continuidad y la de igualdad de las derivadas laterales.