Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Dada la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^2+a}{2x-4}}& x\le 0\\ 10x^2+x+b& x>0\end{array}$

calcule los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua y derivable en $\mathbb{R}$. Dé las expresiones de la función $f(x)$ y de su derivada $f^{\mathrm{\prime }}(x)$. [2,5 puntos]

Cada rama es continua y derivable en su intervalo: la segunda es un polinomio y la primera un cociente cuyo denominador solo se anula en $x=2$, valor que queda fuera del tramo $x\le 0$. El único punto conflictivo es el de empalme, $x=0$, y allí se impone primero la continuidad y después la derivabilidad.

Para la continuidad se comparan el valor de la función y sus dos límites laterales.

$f(0)={\displaystyle \frac{0^2+a}{2\cdot 0-4}}={\displaystyle \frac{a}{-4}}=-{\displaystyle \frac{a}{4}}$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(10x^2+x+b)=b$

$-{\displaystyle \frac{a}{4}}=b$

Para la derivabilidad se calculan las derivadas laterales y se obliga a que coincidan.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x(2x-4)-(x^2+a)\cdot 2}{(2x-4{)}^2}}\text{si }x<0$

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{-})={\displaystyle \frac{0-2a}{(-4{)}^2}}={\displaystyle \frac{-2a}{16}}=-{\displaystyle \frac{a}{8}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{+})={[20x+1]}_{x=0}=1$

$-{\displaystyle \frac{a}{8}}=1\Rightarrow a=-8$

$b=-{\displaystyle \frac{a}{4}}=-{\displaystyle \frac{-8}{4}}=2$

Con esos valores la función queda:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^2-8}{2x-4}}& \text{si }x\le 0\\ 10x^2+x+2& \text{si }x>0\end{array}$

Y su derivada, simplificando la primera rama:

${\displaystyle \frac{2x(2x-4)-2(x^2-8)}{(2x-4{)}^2}}={\displaystyle \frac{4x^2-8x-2x^2+16}{4(x-2{)}^2}}={\displaystyle \frac{x^2-4x+8}{2(x-2{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^2-4x+8}{2(x-2{)}^2}}& \text{si }x\le 0\\ 20x+1& \text{si }x>0\end{array}$

Los parámetros que hacen la función continua y derivable en todo $\mathbb{R}$ son $a=-8$ y $b=2$; en el punto de empalme las dos ramas de la derivada valen 1, como debía ocurrir.