Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule el valor de $a$ para que la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}(x)-x\cdot e^x}{x^2-2\cos (x)+2}}& \text{si }x\mathrm{\ne }0\\ a& \text{si }x=0\end{array}$

sea continua en $x=0$. [2 puntos]

La función es continua en $x=0$ cuando existe el límite en ese punto y coincide con el valor que toma allí, es decir, cuando

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}(x)-x{e}^x}{x^2-2\cos (x)+2}}=f(0)=a$

Calculamos el límite. Al sustituir se obtiene una indeterminación:

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}(x)-x{e}^x}{x^2-2\cos (x)+2}}={\displaystyle \frac{0-0}{0-2+2}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$

Aplicamos la regla de L'Hôpital, derivando por separado numerador y denominador:

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\cos (x)-e^x(1+x)}{2x+2\mathrm{sen}(x)}}={\displaystyle \frac{1-1}{0+0}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$

Sigue siendo indeterminado, así que volvemos a aplicarla:

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{-\mathrm{sen}(x)-e^x(2+x)}{2+2\cos (x)}}={\displaystyle \frac{0-1\cdot 2}{2+2}}={\displaystyle \frac{-2}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Para que la función sea continua en $x=0$ el valor de $a$ debe ser $a=-\frac{1}{2}$.