Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Demuestre que las gráficas de las funciones $f(x)=2-x^2$ y $g(x)=e^x$ se cortan en al menos 2 puntos. Para cada uno de los puntos de corte, encuentre un intervalo que lo contenga de longitud menor o igual que 1. Razone las respuestas exponiendo y verificando los resultados (teoremas) que lo justifiquen. [2 puntos]

Que las dos gráficas se corten significa que la ecuación $f(x)=g(x)$ tiene solución, así que pasamos todo a un miembro y buscamos los ceros de la función que resulta.

$h(x)=f(x)-g(x)=2-x^2-e^x$

La función $h$ es continua en todo $\mathbb{R}$, por ser diferencia de un polinomio y una exponencial, ambos continuos. Podemos entonces aplicar el teorema de Bolzano en cualquier intervalo cerrado en cuyos extremos $h$ tome signos distintos.



Primer corte. Tomamos el intervalo $[-2,-1]$, de longitud $1$:

$h(-2)=2-4-e^{-2}=-2-\mathrm{0,1353}=-\mathrm{2,1353}<0$

$h(-1)=2-1-e^{-1}=1-\mathrm{0,3679}=\mathrm{0,6321}>0$

Como $h$ es continua en $[-2,-1]$ y cambia de signo, por el teorema de Bolzano existe $c_1\in (-2,-1)$ con $h(c_1)=0$, es decir, un punto de corte de las dos gráficas.

Segundo corte. Tomamos el intervalo $[0,1]$, también de longitud $1$:

$h(0)=2-0-e^0=1>0$

$h(1)=2-1-e=1-\mathrm{2,7183}=-\mathrm{1,7183}<0$

De nuevo por el teorema de Bolzano existe $c_2\in (0,1)$ con $h(c_2)=0$.

Los dos intervalos son disjuntos, así que $c_1\mathrm{\ne }{c}_2$ y los cortes son efectivamente dos distintos.

Las gráficas de $f$ y $g$ se cortan al menos en dos puntos, uno con abscisa en el intervalo $(-2,-1)$ y otro con abscisa en $(0,1)$; los dos intervalos tienen longitud $1$, como se pedía.