Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule $a$ sabiendo que ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{ax}{{(\ln x)}^3+2x}}=1}$ (donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano). [2,5 puntos]

El límite presenta la indeterminación $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$. Lo más directo es comparar los órdenes de infinitud del numerador y del denominador, sabiendo que cualquier potencia del logaritmo es un infinito de orden inferior al de $x$.

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{{(\ln x)}^3}{x}}=0}$

Dividimos numerador y denominador entre $x$:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{ax}{{(\ln x)}^3+2x}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{a}{{\displaystyle \frac{{(\ln x)}^3}{x}}+2}}={\displaystyle \frac{a}{0+2}}={\displaystyle \frac{a}{2}}}$

El mismo resultado se obtiene aplicando la regla de L'Hôpital, que lleva a

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{a}{{\displaystyle \frac{3{(\ln x)}^2}{x}}+2}}}$

y de nuevo el cociente del logaritmo entre $x$ tiende a cero. Imponemos ahora la condición del enunciado:

${\displaystyle \frac{a}{2}}=1\Rightarrow a=2$

El valor pedido es $a=2$.