Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Sea la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2x+1& x<3\\ {\displaystyle \frac{2x}{x-4}}& x\ge 3\end{array}$.

a) [1,5 puntos] Estudie la continuidad de la función y, en caso de existir, indique y clasifique el tipo de discontinuidades.

b) [1 punto] Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x=2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{continuidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{existir,}}\mathbf{\text{indique}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{clasifique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{discontinuidades.}}$

Cada rama es continua donde está definida: la primera es un polinomio y la segunda una función racional, que solo falla donde se anula su denominador.

$x-4=0\Rightarrow x=4$

Como $4$ pertenece al tramo $x\ge 3$, el dominio de la función es $\text{Dom}f=\mathbb{R}-\{4\}$, y los únicos puntos donde puede fallar la continuidad son $x=3$ (el empalme de las dos ramas) y $x=4$.

En $x=3$ calculamos los límites laterales:

${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 3^{-}}(x^2+2x+1)=9+6+1=16$

${\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 3^{+}}{\displaystyle \frac{2x}{x-4}}={\displaystyle \frac{6}{-1}}=-6$

Los dos límites laterales son finitos pero distintos, luego no existe ${\lim }_{x\to 3}f(x)$.

En $x=4$ el denominador se anula sin anularse el numerador:

${\lim }_{x\to 4^{-}}{\displaystyle \frac{2x}{x-4}}={\displaystyle \frac{8}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 4^{+}}{\displaystyle \frac{2x}{x-4}}={\displaystyle \frac{8}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

La función es continua en $\mathbb{R}-\{3,4\}$. En $x=3$ presenta una discontinuidad de salto finito, de salto $-6-16=-22$, y en $x=4$ una discontinuidad de salto infinito, con asíntota vertical $x=4$.



Como $2<3$, en un entorno de ese punto la función es el polinomio de la primera rama, que es el que hay que derivar.

$f(x)=x^2+2x+1\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+2$

$f(2)=4+4+1=9,f^{\mathrm{\prime }}(2)=4+2=6$

Aplicamos la ecuación punto-pendiente de la recta tangente.

$y-f(2)=f^{\mathrm{\prime }}(2)(x-2)\Rightarrow y-9=6(x-2)$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=2$ es $y=6x-3$.