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Examen de Matemáticas II de Andalucía 2022 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Andalucía, convocatoria extraordinaria de 2022. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Límites y continuidad

Calcule

a

sabiendo que

\lim_{x \to + \infty} \frac{a x}{{(\ln x)}^{3} + 2 x} = 1

(donde

\ln

denota la función logaritmo neperiano). [2,5 puntos]

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Ejercicio 2: Optimización

Calcule los vértices y el área del rectángulo de área máxima inscrito en el recinto limitado por la gráfica de la función

f : R \to R

definida por

f (x) = - x^{2} + 12

y el eje de abscisas, y que tiene su base sobre dicho eje. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Integrales y Áreas

Calcule

\int_{3}^{8} \frac{1}{\sqrt{1 + x} - 1} d x

. (Sugerencia: efectúe el cambio de variable

t = \sqrt{1 + x} - 1

.) [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Integrales y Áreas

Considere las funciones

f, g : R \to R

definidas por

f (x) = x^{3} + 2

g (x) = - x^{2} + 2 x + 2

.

a) Calcule los puntos de corte de las gráficas de

f

g

. Esboce sus gráficas. [1,25 puntos]

b) Determine el área del recinto limitado por las gráficas de

f

g

en el primer cuadrante. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Matrices

Considere las matrices

A = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array})

B = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & a \\ 2 & a & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{array})

C = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 2 \\ 2 & - 1 & - 1 \end{array})

.

a) Determine los valores de

a

para los que la matriz

B

no tiene inversa. [0,5 puntos]

b) Para

a = 1

calcule

X

tal que

A X B = C

, si es posible. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Matrices

Se sabe que

∣ \begin{array}{ccc} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{array} ∣ = - 2

.

a) Calcule

∣ \begin{array}{ccc} a & c & b \\ 2 x & 2 z & 2 y \\ - 3 p & - 3 r & - 3 q \end{array} ∣

[1 punto]

b) Calcule

∣ \begin{array}{ccc} x & a - 3 p & - 2 a \\ y & b - 3 q & - 2 b \\ z & c - 3 r & - 2 c \end{array} ∣

[1,5 puntos]

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Ejercicio 7: Rectas y Planos

Considere las rectas

r \equiv x + 1 = y - a = - z

s \equiv {\begin{cases} x = 5 + 2 λ \\ y = - 3 \\ z = 2 - λ \end{cases}

a) Calcule

a

para que

r

s

se corten. Determine dicho punto de corte. [1,5 puntos]

b) Halle la ecuación del plano que pasa por

P (8, - 7, 2)

y que contiene a la recta

s

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Rectas y Planos

Sean el plano

π \equiv x + y - z = 2

y la recta

r \equiv x = \frac{y}{3} = z - 1

.

a) Calcule, si existe, el punto de intersección de

π

r

. [0,75 puntos]

b) Dado el punto

Q (2, 6, 3)

, halle su simétrico respecto del plano

π

. [1,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8