Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Considere las rectas $r\equiv x+1=y-a=-z$ y $s\equiv \{\begin{array}{l}x=5+2\lambda \\ y=-3\\ z=2-\lambda \end{array}$

a) Calcule $a$ para que $r$ y $s$ se corten. Determine dicho punto de corte. [1,5 puntos]

b) Halle la ecuación del plano que pasa por $P(8,-7,2)$ y que contiene a la recta $s$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{corten.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Leemos de la ecuación continua de $r$ un punto y su director, y de las paramétricas de $s$ los suyos.

$r:R(-1,a,0),{\vec{v}}_r=(1,1,-1);s:S(5,-3,2),{\vec{v}}_s=(2,0,-1)$

Dos rectas se cortan cuando son coplanarias y no paralelas. La coplanariedad se traduce en que el producto mixto de los dos directores y del vector que une un punto de cada una sea nulo.

$\overrightarrow{RS}=(5,-3,2)-(-1,a,0)=(6,-3-a,2)$

$\mid \begin{array}{ccc}6& -3-a& 2\\ 1& 1& -1\\ 2& 0& -1\end{array}\mid =a-7$

$a-7=0\Rightarrow a=7$

Los directores no son proporcionales para ningún valor de $a$, pues ${\vec{v}}_r$ y ${\vec{v}}_s$ son fijos, así que las rectas se cortan de verdad. Para hallar el punto igualamos las coordenadas de ambas rectas con $a=7$:

$\{\begin{array}{l}-1+t=5+2\lambda \\ 7+t=-3\\ -t=2-\lambda \end{array}$

La segunda ecuación da $t=-10$, y de la tercera $\lambda =-8$. Comprobamos en la primera, que aún no se ha usado: $-1-10=5-16$.

$x=-1-10=-11;y=7-10=-3;z=10$

Las rectas se cortan cuando $a=7$, y lo hacen en el punto $(-11,-3,10)$.



El plano queda determinado por un punto de $s$ y dos direcciones: la de la propia recta y la que une ese punto con $P$. Un vector normal es el producto vectorial de ambas.

$\overrightarrow{SP}=(8,-7,2)-(5,-3,2)=(3,-4,0)$

$\vec{n}={\vec{v}}_s\times \overrightarrow{SP}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 0& -1\\ 3& -4& 0\end{array}\mid =(-4,-3,-8)$

$\pi :-4x-3y-8z+D=0$

Imponemos que pase por $S(5,-3,2)$:

$-20+9-16+D=0\Rightarrow D=27$

Comprobamos que $P$ también lo cumple: $-32+21-16+27=0$.

El plano pedido es $4x+3y+8z-27=0$.