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Examen de Matemáticas II de Andalucía 2021 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Andalucía, convocatoria extraordinaria de 2021. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Límites y continuidad

Calcule

a

b

sabiendo que

\lim_{x \to 0} \frac{a (1 - \cos (x)) + b sen (x) - 2 (e^{x} - 1)}{x^{2}} = 7

. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Derivadas

Halle

a > 0

b > 0

sabiendo que la gráfica de la función

f : R \to R

dada por

f (x) = \frac{b x^{2}}{1 + a x^{4}}

tiene en el punto

(1, 2)

un punto crítico. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Derivadas

Considere la función

f : R \to R

definida por

f (x) = 1 + \int_{0}^{x} t e^{t} d t .

Determine los intervalos de concavidad y de convexidad de

f

y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Integrales y Áreas

Considere la función

f

definida por

f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}

(para

x \neq - 1

x \neq 1

). Halle una primitiva de

f

cuya gráfica pase por el punto

(2, 4)

. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Matrices

Considere la matriz

A = (\begin{array}{ccc} 0 & 3 & 4 \\ 1 & - 4 & - 5 \\ - 1 & 3 & 4 \end{array})

.

a) Compruebe que

A^{2} = - A^{- 1}

. [1,25 puntos]

b) Dadas las matrices

B = (\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ 3 & 0 \\ - 4 & 5 \end{array})

C = (\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ - 3 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array})

, calcule la matriz

X

que verifica

A^{4} X + B = A C

. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Sistemas de ecuaciones

Una empresa de mensajería opera en tres rutas distintas A, B y C. Semanalmente hace un total de 70 viajes, y el número de viajes por la ruta B es igual a la suma de los viajes por las rutas A y C.

a) Si sabemos que el doble de la suma de los viajes por las rutas A y C es 70, ¿podemos deducir el número de viajes por cada ruta? Razone la respuesta. [1,25 puntos]

b) Si el doble de viajes por la ruta C es igual al número de viajes por la ruta B menos 5, ¿cuántos viajes hace por cada ruta? [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Rectas y Planos

La recta perpendicular desde el punto

A (1, 1, 0)

a un cierto plano

π

corta a éste en el punto

B (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

.

a) Calcule la ecuación del plano

π

. [1,5 puntos]

b) Halle la distancia del punto

A

a su simétrico respecto a

π

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Rectas y Planos

Considere las rectas

r \equiv {\begin{cases} x = 3 + λ \\ y = 1 \\ z = - 3 - λ \end{cases}

s \equiv {\begin{cases} x + y = 1 \\ z = 0 \end{cases}

a) Estudie la posición relativa de

r

s

. [1,25 puntos]

b) Halle la recta que corta perpendicularmente a

r

y a

s