Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Considere las rectas $r\equiv \{\begin{array}{l}x=3+\lambda \\ y=1\\ z=-3-\lambda \end{array}$ y $s\equiv \{\begin{array}{l}x+y=1\\ z=0\end{array}$

a) Estudie la posición relativa de $r$ y $s$. [1,25 puntos]

b) Halle la recta que corta perpendicularmente a $r$ y a $s$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Obtenemos un punto y un director de cada recta. El de $s$ es el producto vectorial de los normales de los dos planos que la definen.

$r:R(3,1,-3),{\vec{v}}_r=(1,0,-1)$

${\vec{v}}_s=(1,1,0)\times (0,0,1)=(1,-1,0)$

Tomando $x=0$ en las ecuaciones de $s$ se obtiene $y=1$ y $z=0$:

$s:S(0,1,0),{\vec{v}}_s=(1,-1,0)$

Los directores no son proporcionales, luego las rectas no son paralelas. Para distinguir entre cortarse y cruzarse calculamos el producto mixto con el vector que une los dos puntos:

$\overrightarrow{RS}=(0,1,0)-(3,1,-3)=(-3,0,3)$

$\mid \begin{array}{ccc}-3& 0& 3\\ 1& 0& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\mid =0$

El determinante se anula, así que las rectas son coplanarias y, al no ser paralelas, se cortan. Hallamos el punto: la tercera coordenada de $r$ debe ser nula, pues todos los puntos de $s$ tienen $z=0$.

$-3-\lambda =0\Rightarrow \lambda =-3\Rightarrow (0,1,0)$

Ese punto cumple $x+y=1$, luego pertenece también a $s$.

Las rectas $r$ y $s$ se cortan en el punto $P(0,1,0)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{corta}}\mathbf{\text{perpendicularmente}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$











Como las dos rectas se cortan, la recta buscada ha de pasar por el punto de corte $P$: es el único punto común, y desde cualquier otro no se podría cortar a las dos. Su dirección ha de ser perpendicular a los dos directores, es decir, su producto vectorial.

${\vec{v}}_t={\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 0& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\mid$





${\vec{v}}_t=(-1,-1,-1)$

Cambiamos el signo para simplificar, que no altera la dirección:

${\vec{v}}_t=(1,1,1)$

Comprobamos la perpendicularidad con ambas rectas:

${\vec{v}}_t\cdot {\vec{v}}_r=1+0-1=0;{\vec{v}}_t\cdot {\vec{v}}_s=1-1+0=0$

La recta pedida es $t:\{\begin{array}{l}x=\mu \\ y=1+\mu \\ z=\mu \end{array}$, con $\mu \in \mathbb{R}$.