Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Se quiere instalar un toldo que pase por el punto de coordenadas $A(2,1,1)$ y que sea perpendicular a una barra metálica de ecuación $r\equiv \{\begin{array}{l}2x-y+z=3\\ x\phantom{-y}-z=1\end{array}$.

a) [1,25 puntos] Determine la ecuación del plano que define el toldo.

b) [1,25 puntos] Si se quiere colocar un foco en el punto de coordenadas $F(2,-2,1)$, ¿a qué distancia se encuentra del plano que define el toldo?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{define}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{toldo.}}$











Si el toldo es perpendicular a la barra, un vector normal del plano es un vector director de la recta $r$. La recta viene dada como intersección de dos planos, de modo que su vector director es el producto vectorial de los dos vectores normales.

${\vec{n}}_1=(2,-1,1),{\vec{n}}_2=(1,0,-1)$

${\vec{v}}_r={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -1& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\mid =(1,3,1)$





Del plano $\pi$ conocemos ya el punto $A(2,1,1)$ y el vector normal ${\vec{n}}_{\pi }={\vec{v}}_r=(1,3,1)$, así que su ecuación es de la forma

$\pi :x+3y+z+D=0$

Imponemos que $A$ pertenezca al plano para hallar $D$.

$2+3\cdot 1+1+D=0\Rightarrow 6+D=0\Rightarrow D=-6$

El plano que define el toldo es $\pi :x+3y+z-6=0$.



Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

$d(F,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\mathrm{\mid }}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}$

$d(F,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2+3\cdot (-2)+1-6\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+3^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2-6+1-6\mathrm{\mid }}{\sqrt{11}}}={\displaystyle \frac{9}{\sqrt{11}}}$

Racionalizamos el denominador:

$d(F,\pi )={\displaystyle \frac{9\sqrt{11}}{11}}\approx \mathrm{2,7136}$

El foco se encuentra a ${\displaystyle \frac{9\sqrt{11}}{11}}\approx \mathrm{2,7136}$ unidades de longitud del plano del toldo.