Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Sean el punto $A(1,1,a)$ y el plano $\pi \equiv b\cdot x+y+z=1$, con $a,b\in \mathbb{R}$.

a) [1,5 puntos] ¿Qué deben cumplir los valores $a$, $b$ para que el punto $A$ esté contenido en el plano $\pi$ y éste tenga como vector normal uno que es perpendicular al vector $\vec{u}=(1,2,0)$?

b) [1 punto] Con los valores de $a$, $b$ del apartado anterior, obtenga la ecuación de la recta perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por el punto $A$.

El enunciado impone dos condiciones independientes, y cada una determina un parámetro.

i) El vector normal del plano se lee en los coeficientes de su ecuación general:

${\vec{n}}_{\pi }=(b,1,1)$

Que sea perpendicular a $\vec{u}$ equivale a que su producto escalar se anule:

${\vec{n}}_{\pi }\cdot \vec{u}=b\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 0=b+2=0\Rightarrow b=-2$

ii) Que el punto $A(1,1,a)$ pertenezca al plano significa que sus coordenadas verifican la ecuación. Con $b=-2$:

$-2\cdot 1+1+a=1\Rightarrow -1+a=1\Rightarrow a=2$

Deben cumplirse $a=2$ y $b=-2$; con ellos el punto es $A(1,1,2)$ y el plano $\pi :-2x+y+z=1$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{,}}\mathit{b}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}$











Si la recta es perpendicular al plano, su vector director es el vector normal del plano, que ya conocemos.

${\vec{v}}_s={\vec{n}}_{\pi }=(-2,1,1)$

Con el punto $A(1,1,2)$ y ese vector director:

$s:\{\begin{array}{l}x=1-2\lambda \\ y=1+\lambda \\ z=2+\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$





Despejando el parámetro obtenemos su ecuación continua:

$s:{\displaystyle \frac{x-1}{-2}}={\displaystyle \frac{y-1}{1}}={\displaystyle \frac{z-2}{1}}$

La recta perpendicular a $\pi$ por $A$ es $s:{\displaystyle \frac{x-1}{-2}}=y-1=z-2$.