Examen de Matemáticas II de Castilla-La Mancha 2023 (convocatoria ordinaria)

Sean las matrices $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& 0\end{array}\right)$, con $a,b,c\in \mathbb{R}$, $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 2\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 0\end{array}\right)$.

a) [1,5 puntos] Determine las condiciones que tienen que cumplir los valores $a$, $b$, $c$ para que $A\cdot X=B$.

b) [1 punto] Si además queremos que $X$ sea simétrica, ¿qué se debe cumplir? ¿Cómo es la matriz $X$ resultante?

a) [0,5 puntos] Enuncie el teorema de Bolzano.

b) [1 punto] Sea la función $f(x)=x^3+6x^2+3x-10$. Utilice el teorema de Bolzano para justificar que esta función tiene al menos una raíz en el intervalo $[0,2]$.

c) [1 punto] ¿Podría $f(x)$ tener más de una raíz en el intervalo $[0,2]$? Justifique su respuesta.

Sean el punto $A(1,1,a)$ y el plano $\pi \equiv b\cdot x+y+z=1$, con $a,b\in \mathbb{R}$.

a) [1,5 puntos] ¿Qué deben cumplir los valores $a$, $b$ para que el punto $A$ esté contenido en el plano $\pi$ y éste tenga como vector normal uno que es perpendicular al vector $\vec{u}=(1,2,0)$?

b) [1 punto] Con los valores de $a$, $b$ del apartado anterior, obtenga la ecuación de la recta perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por el punto $A$.

a) Una empresa de mantenimiento da servicio a empresas de dos polígonos industriales (el polígono Campo y el polígono Llano). El 30 % de las reparaciones se realizan en el polígono Campo mientras que el 70 % se realiza en el polígono Llano. Además, en el polígono Campo el 10 % de las reparaciones son de tipo mecánico y el 90 % de tipo eléctrico. En el polígono Llano el 30 % de las reparaciones son de tipo mecánico y el resto de tipo eléctrico.

a.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que en un momento dado se realice una reparación de tipo mecánico?

a.2) [0,75 puntos] Si se ha realizado una reparación de tipo eléctrico, ¿qué probabilidad hay de que se haya realizado en el polígono Llano?

b) El famoso piloto de carreras Fernando Osnola es capaz de completar una vuelta a un circuito en un tiempo que sigue una distribución normal de media 1,5 minutos y desviación típica 0,15 minutos.

b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que complete una vuelta en menos de 1,35 minutos?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál sería el tiempo exacto que es mayor que el 85,08 % de los tiempos realizados al completar una vuelta al circuito?

a) [1 punto] Calcule la siguiente integral:

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dx}{(1-3x{)}^{1\mathrm{/}2}-(1-3x{)}^{2\mathrm{/}3}}}}$

Puede utilizar el cambio de variable $1-3x=t^6$.

b) [1,5 puntos] Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 2& 0& 0\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 2& 1& 1\end{array}\right)$. Sin calcular $A^{-1}$, razone por qué $A^{-1}$ existe y discuta si la matriz $A^{-1}\cdot B$ tiene inversa.

a) [1 punto] Calcule el siguiente límite:

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{5x+1}{5x}}\right)}^{x^2}$

b) [1,5 puntos] Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto $A(2,1,3)$ y cuyo vector director es perpendicular a los vectores $\vec{u}=(2,2,0)$ y $\vec{v}=(0,0,-1)$.

a) [1 punto] Sea la función $f(x)=x^3+3x^2+x+3$. Obtenga sus máximos y mínimos relativos.

b) Una urna contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4. Se extraen al azar dos bolas sin reemplazamiento y se obtiene una puntuación igual a la suma de los valores correspondientes.

b.1) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación obtenida sea de 3?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación sea mayor de 3?

a) [1,25 puntos] Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 2& 1\\ 2& 1& 0& 1\end{array}\right)$. Calcule el rango de $A$.

b) [1,25 puntos] Sea la recta $r$ definida por la intersección de los planos ${\pi }_1\equiv x+y+z=1$, ${\pi }_2\equiv y+2z=1$. Por otro lado, consideraremos el plano ${\pi }_3\equiv 2x+y=1$. Determine la posición relativa de la recta $r$ y el plano ${\pi }_3$. El resultado del apartado anterior le puede ayudar.