Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

a) [1 punto] Calcule el siguiente límite:

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{5x+1}{5x}}\right)}^{x^2}$

b) [1,5 puntos] Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto $A(2,1,3)$ y cuyo vector director es perpendicular a los vectores $\vec{u}=(2,2,0)$ y $\vec{v}=(0,0,-1)$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite:}}$



La base tiende a $1$ y el exponente a $+\mathrm{\infty }$, de modo que estamos ante una indeterminación del tipo $1^{\mathrm{\infty }}$. Aplicamos la regla correspondiente al número $e$:

$\lim {[f(x)]}^{g(x)}=e^{\lim g(x)[f(x)-1]}$

Calculamos primero el exponente del límite.

${\displaystyle \frac{5x+1}{5x}}-1={\displaystyle \frac{5x+1-5x}{5x}}={\displaystyle \frac{1}{5x}}$

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot {\displaystyle \frac{1}{5x}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x}{5}}=+\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{5x+1}{5x}}\right)}^{x^2}=e^{+\mathrm{\infty }}=+\mathrm{\infty }$

El límite vale $+\mathrm{\infty }$.



Un vector perpendicular a la vez a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$ es su producto vectorial, y ese será el vector director de la recta.

$\vec{u}\times \vec{v}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 2& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\mid =(-2,2,0)$

Los vectores directores se pueden simplificar dividiendo por un número no nulo, así que tomamos $\vec{w}=(-1,1,0)$.

$r:\{\begin{array}{l}x=2-\lambda \\ y=1+\lambda \\ z=3\end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

Eliminando el parámetro entre las dos primeras ecuaciones obtenemos su forma implícita:

$r:\{\begin{array}{l}x+y=3\\ z=3\end{array}$

La recta pedida pasa por $A(2,1,3)$, tiene vector director $(-1,1,0)$ y es horizontal, ya que su tercera coordenada es constante.