Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

a) [1 punto] Calcule el límite siguiente:

${\lim }_{x\to 3}{\displaystyle \frac{x^3-3x^2+3x-9}{3x-9}}$

b) [1,5 puntos] Sean el punto $A(1,2,1)$ y el plano $\pi \equiv x-y=1$. Calcule la distancia del punto $A$ al plano $\pi$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite}}\mathbf{\text{siguiente:}}$



Al sustituir aparece la indeterminación $\frac{0}{0}$, lo que indica que $x=3$ es raíz del numerador y del denominador. Factorizamos ambos para simplificar el factor común.

$x^3-3x^2+3x-9=x^2(x-3)+3(x-3)=(x-3)(x^2+3)$

$3x-9=3(x-3)$

${\lim }_{x\to 3}{\displaystyle \frac{(x-3)(x^2+3)}{3(x-3)}}={\lim }_{x\to 3}{\displaystyle \frac{x^2+3}{3}}$

$={\displaystyle \frac{9+3}{3}}={\displaystyle \frac{12}{3}}=4$

El límite vale $4$.













Escribimos el plano en forma general y aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano, que mide el segmento perpendicular desde $A$ hasta el plano.

$\pi :x-y-1=0$

$d(A,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\mathrm{\mid }}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}$





Sustituimos las coordenadas de $A(1,2,1)$ y los coeficientes del plano, teniendo en cuenta que el coeficiente de $z$ es nulo.

$d(A,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1\cdot 1+(-1)\cdot 2+0\cdot 1-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+0^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1-2-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Racionalizamos el denominador:

$d(A,\pi )={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}\approx \mathrm{1,4142}$

La distancia del punto $A$ al plano $\pi$ es $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,4142}$ unidades de longitud.