Examen de Matemáticas II de Castilla-La Mancha 2023 (convocatoria extraordinaria)

Sea el sistema de ecuaciones lineales $\{\begin{array}{l}-2x+y-z=-1\\ -x+a\cdot y+z=2\\ 2x+y+a\cdot z=3\end{array}$, con $a\in \mathbb{R}$.

a) [1,75 puntos] Discuta cómo es el sistema en función de los valores del parámetro $a$.

b) [0,75 puntos] Resuelva razonadamente el sistema anterior para $a=2$, si es posible.

Una empresa desea construir un aparcamiento para sus empleados y necesita vallarlo de manera que la región resultante sea un rectángulo más medio círculo, tal y como se ve en la figura adjunta. El rectángulo tiene de lados $h,r\in \mathbb{R}$, de manera que el radio del semicírculo es $h\mathrm{/}2$. La empresa tiene solamente presupuesto para comprar una valla de 80 metros de longitud, que ha de ser el perímetro del aparcamiento. La empresa desea construir un aparcamiento con el mayor área posible con ese perímetro de 80 metros.



a) [1 punto] Escriba el área del aparcamiento en función del valor $h$.

b) [1,5 puntos] ¿Cuánto deben valer $h$ y $r$ para que el área del aparcamiento sea lo mayor posible?

a) Tenemos dos urnas con bolas. La urna A tiene 6 bolas rojas y 8 negras y la urna B tiene 8 bolas rojas y 10 bolas negras. Disponemos de un dado de 12 caras numeradas del 1 al 12. Lanzamos el dado y si sale un número múltiplo de 4 se extrae una bola de la urna A. Si sale otro número se extrae una bola de la urna B. Calcule razonadamente:

a.1) [0,5 puntos] La probabilidad de obtener una bola roja.

a.2) [0,75 puntos] Sabiendo que la bola extraída es roja, la probabilidad de que haya sido extraída de la urna A.

b) Una empresa de mensajería sabe que la probabilidad de que el destinatario esté ausente (y no se pueda hacer la entrega) durante el reparto es del 25 %. Un repartidor de esta empresa ha de entregar 6 paquetes.

b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que no pueda entregar uno de ellos porque el destinatario esté ausente?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que pueda entregar al menos uno de los paquetes?

Sean el plano $\pi \equiv a\cdot x+y-z=1$, con $a\in \mathbb{R}$, y los puntos $A(1,0,0)$ y $B(b,1,-1)$, con $b\in \mathbb{R}$.

a) [1,5 puntos] Determine el valor de $a$, $b$ para que el vector $\overrightarrow{AB}$ sea perpendicular al plano $\pi$ y el punto $A$ esté contenido en el plano $\pi$.

b) [1 punto] Con los valores de $a$, $b$ obtenidos en el apartado anterior, escriba la ecuación de la recta que pasa por $A$ y es perpendicular al plano $\pi$.

a) [1 punto] Encuentre el área encerrada por la recta $x=-1$ y las gráficas de las funciones $f(x)=x^2-2x+3$ y $g(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+1$.

b) [1,5 puntos] Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& a\\ -1& 0& 0\\ -1& a+1& a+1\end{array}\right)$ con $a\in \mathbb{R}$. Estudie el rango de $A$ en función de los valores de $a$.

a) [1 punto] Calcule el límite siguiente:

${\lim }_{x\to 3}{\displaystyle \frac{x^3-3x^2+3x-9}{3x-9}}$

b) [1,5 puntos] Sean el punto $A(1,2,1)$ y el plano $\pi \equiv x-y=1$. Calcule la distancia del punto $A$ al plano $\pi$.

a) [1 punto] Resuelva la siguiente integral:

${\displaystyle \int (x+3)e^{-2x}dx}$

b) En un juego de azar cada jugador tira un dado de seis caras. Si sale un 1 vuelve a tirar. Si sale otro resultado deja de tirar y la puntuación obtenida es el número de unos obtenidos durante las tiradas.

b.1) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de no obtener ningún uno? ¿Cuál es la probabilidad de obtener una puntuación de uno? ¿Y la de obtener una puntuación de tres?

b.2) [0,75 puntos] ¿Podría dar la probabilidad de obtener una puntuación de $n\in \mathbb{N}$?

a) [1,25 puntos] Sabiendo que $\mid \begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ a& b& c\\ x& y& z\end{array}\mid =6$ con $a,b,c,x,y,z\in \mathbb{R}$, calcule el valor de $\mid \begin{array}{ccc}1\mathrm{/}2& 3\mathrm{/}2& 5\mathrm{/}2\\ a+2& b+6& c+10\\ 4x& 4y& 4z\end{array}\mid$ e indique en cada paso las propiedades que utiliza.

b) [1,25 puntos] Calcule el ángulo que forman los vectores $\vec{u}=(1,1,1)$ y $\vec{v}=(3,2,3)$.