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Examen de Matemáticas II de Castilla-La Mancha 2025 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Castilla-La Mancha, convocatoria extraordinaria de 2025. Aquí hay 7 ejercicios publicados, 7 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Optimización

Para guardar el material escolar, se quiere construir una caja (sin tapa) a partir de una plancha de cartón de 48 cm de largo por 30 cm de ancho, a la que se le ha recortado un cuadrado de lado x en cada una de sus esquinas (véase el dibujo).

Figura del ejercicio

a) [0,75 puntos] Determine el volumen de la caja.

b) [1 punto] Determine las dimensiones de la caja si se quiere que contenga el mayor volumen posible.

c) [0,75 puntos] Para poder transportar la caja cómodamente, se van a realizar dos aberturas. El área de cada una de ellas está encerrada por las curvas f(t)=t2−4t y g(t)=2t−5. Calcule el área de una de las aberturas.

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Rectas y Planos

Para las fiestas del Corpus Christi que se celebran en Toledo, se instalan toldos en las calles por las que transcurre la procesión. En una de ellas, los operarios colocan los siguientes puntos de apoyo: A(0, 1, −2), B(1, 2, 0), C(0, 0, 1) y D(1, 0, m), con m∈R.

a) [1 punto] Calcule el valor de m para que los cuatro puntos sean coplanarios.

b) [0,75 puntos] Determine la ecuación del plano π que contiene al toldo.

c) [0,75 puntos] Si los adornos florales deben estar como mínimo a 1 metro de distancia del toldo y se ha colocado un adorno de flores en el punto P(1, 2, 3), ¿estará correctamente ubicado?

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

a) [1 punto] Calcule la ecuación del plano π′ que pasa por C(1, 1, −2), es paralelo a la recta r que pasa por los puntos A(1, 0, 3) y B(0, 4, −1) y perpendicular al plano π≡−x+y+2z=1.

b) [1,5 puntos] Determine los valores reales de m∈R, para que los puntos A(−1, 2, 3), B(−1, 0, −1), C(2, −1, 1) y D(2, 3, m) formen un tetraedro de volumen 8 unidades cúbicas.

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Sistemas de ecuaciones

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

{x+y−z=24x+2y=aax+y+z=1

a) [1,5 puntos] Discuta la resolución del sistema según los valores que pueda tomar el parámetro a∈R e indique el número de soluciones en cada caso.

b) [1 punto] Para a=0, resuelva el sistema de ecuaciones, de forma razonada.

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Matrices

Dadas las matrices A=(12a1−1−1) y B=(13a002), con a∈R.

a) [1,25 puntos] Calcule los valores del parámetro a para que A⋅B sea invertible. Justifique su respuesta.

b) [1,25 puntos] Calcule la inversa de A⋅B en función de a.

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Probabilidad

En la entrada del instituto hay tres fotocopiadoras A, B y C cuyos porcentajes de fallos son 3 %, 5 % y 4 %, respectivamente. Un estudiante entra en el instituto y, como las tres fotocopiadoras están libres, elige una al azar.

a) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que fotocopie sin fallos?

b) [1,5 puntos] Si al fotocopiar observa que una página es defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que se haya utilizado la fotocopiadora B?

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Distribución binomial

Una inspectora de sanidad sabe que el 5 % de los restaurantes no pasará una inspección. Si elige 8 restaurantes al azar, calcule:

a) [0,75 puntos] La probabilidad de que tres restaurantes no pasen la inspección.

b) [0,75 puntos] La probabilidad de que todos los restaurantes pasen la inspección.

c) [1 punto] La probabilidad de que al menos dos restaurantes pasen la inspección.

Ver la solución del ejercicio 7

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