Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

En la entrada del instituto hay tres fotocopiadoras A, B y C cuyos porcentajes de fallos son 3 %, 5 % y 4 %, respectivamente. Un estudiante entra en el instituto y, como las tres fotocopiadoras están libres, elige una al azar.

a) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que fotocopie sin fallos?

b) [1,5 puntos] Si al fotocopiar observa que una página es defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que se haya utilizado la fotocopiadora B?

Nombramos los sucesos: $A$, $B$ y $C$, elegir cada una de las tres fotocopiadoras, y $D$, que la fotocopia salga defectuosa. Como la elección es al azar entre las tres máquinas, $P(A)=P(B)=P(C)={\displaystyle \frac{1}{3}}$, y los porcentajes de fallo del enunciado son las probabilidades condicionadas de $D$. El árbol del experimento es:



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{fotocopie}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{fallos?}}$

Las tres máquinas forman un sistema completo de sucesos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que acaban sin fallo.

$P(\bar{D})=P(A)P(\bar{D}\mid A)+P(B)P(\bar{D}\mid B)+P(C)P(\bar{D}\mid C)$

$P(\bar{D})={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \mathrm{0,97}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \mathrm{0,95}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \mathrm{0,96}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,88}}{3}}$

$P(\bar{D})=\mathrm{0,96}$

La probabilidad de fotocopiar sin fallos es $\mathrm{0,96}$, es decir, un $96\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{fotocopiar}}\mathbf{\text{observa}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{gina}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{defectuosa,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{utilizado}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fotocopiadora}}\mathbf{\text{B?}}$

Que la página sea defectuosa es el suceso contrario del anterior.

$P(D)=1-P(\bar{D})=1-\mathrm{0,96}=\mathrm{0,04}$

Ahora invertimos el condicionamiento con el teorema de Bayes.

$P(B\mid D)={\displaystyle \frac{P(B)\cdot P(D\mid B)}{P(D)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \mathrm{0,05}}{\mathrm{0,04}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0166}\bar{6}}{\mathrm{0,04}}}$

$P(B\mid D)={\displaystyle \frac{5}{12}}\approx \mathrm{0,4167}$

Sabiendo que la página ha salido defectuosa, la probabilidad de que se haya usado la fotocopiadora B es ${\displaystyle \frac{5}{12}}\approx \mathrm{0,4167}$, es decir, un $\mathrm{41,67}\mathrm{\%}$: bastante más que el $\mathrm{33,33}\mathrm{\%}$ de partida, porque B es la que más falla.