Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Una empresa produce dos tipos de piezas, de hierro y de acero. El 60 % de la producción total corresponde a piezas de hierro y el resto son de acero. Sabemos que el 95 % de las piezas de hierro producidas no tienen ningún defecto, mientras que el 3 % de las piezas de acero son defectuosas.

a) Si cogemos una pieza al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa? [0,75 puntos]
b) La empresa pronto diversificará la producción y comenzará a producir también piezas de titanio, que se venderán en paquetes de 5. Si la probabilidad de que una pieza de titanio sea defectuosa es un valor desconocido $p$, y cada pieza es defectuosa independientemente de las otras, compruebe que la expresión que nos da la probabilidad de que en un paquete de 5 piezas haya exactamente 4 defectuosas (en función de $p$) es $f(p)=5(p^4-p^5)$. [0,75 puntos]
c) Considere la función $f(p)$ del apartado anterior. Determine el valor máximo que toma $f(p)$ cuando $p\ge 0$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{cogemos}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{pieza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{defectuosa?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $H$ al suceso «la pieza es de hierro», $A$ a «la pieza es de acero» y $D$ a «la pieza es defectuosa». Del enunciado, $P(H)=\mathrm{0,60}$ y $P(A)=\mathrm{0,40}$; el $95\mathrm{\%}$ de las de hierro no tiene defectos, así que $P(D\mid H)=\mathrm{0,05}$, y $P(D\mid A)=\mathrm{0,03}$.



Una pieza defectuosa puede ser de cualquiera de los dos materiales, de modo que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas que acaban en $D$.

$P(D)=P(H)\cdot P(D\mid H)+P(A)\cdot P(D\mid A)$

$P(D)=\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,05}+\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,03}=\mathrm{0,03}+\mathrm{0,012}=\mathrm{0,042}$

La probabilidad de que una pieza escogida al azar sea defectuosa es $\mathrm{0,042}$, es decir, un $\mathrm{4,2}\mathrm{\%}$ de la producción.



Cada pieza de titanio es defectuosa o no lo es, con probabilidad constante $p$ y de manera independiente de las demás, así que el número de piezas defectuosas en un paquete de cinco sigue una distribución binomial $X\sim B(5,p)$.

$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{k}\right)p^k(1-p{)}^{5-k}$

$P(X=4)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{4}\right)p^4(1-p{)}^1=5p^4(1-p)$

$5p^4(1-p)=5(p^4-p^5)$

Queda comprobado que la probabilidad pedida es $f(p)=5(p^4-p^5)$.



Se trata de un problema de extremos: derivamos, igualamos a cero y estudiamos el signo de la derivada.

$f^{\mathrm{\prime }}(p)=5(4p^3-5p^4)=5p^3(4-5p)$

$f^{\mathrm{\prime }}(p)=0\Rightarrow p=0\text{ o }p={\displaystyle \frac{4}{5}}$

En $p\ge 0$ el factor $5p^3$ no es negativo, de manera que el signo lo marca $4-5p$.



La función crece hasta $p={\displaystyle \frac{4}{5}}$ y decrece a partir de ahí, luego en ese punto hay un máximo absoluto en el intervalo $[0,+\mathrm{\infty })$.

$f\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)=5{\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^4(1-{\displaystyle \frac{4}{5}})=5\cdot {\displaystyle \frac{256}{625}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{256}{625}}$

${\displaystyle \frac{256}{625}}=\mathrm{0,4096}$

El valor máximo de $f(p)$ es $\mathrm{0,4096}$, y se alcanza cuando la probabilidad de que una pieza de titanio sea defectuosa es $p=\mathrm{0,8}$.