Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

El 85 % de los alumnos de un instituto viven en la misma localidad en la que se sitúa el centro educativo y el resto en pueblos de alrededor. El 75 % de los alumnos que acuden al instituto desde fuera de la localidad llegan puntuales a clase por la mañana y el 5 % de los alumnos que viven en la misma localidad que el centro llegan tarde a primera hora.

a) Calcule el porcentaje de alumnos del instituto que llegan tarde a primera hora. [1 punto]

b) Se elige un alumno del centro al azar. Halle la probabilidad de que sea de un pueblo de alrededor si se sabe que ha llegado puntual a clase por la mañana. [1 punto]

Se nombran los dos sucesos que organizan el problema: $L$, «el alumno vive en la misma localidad que el centro», y $P$, «el alumno llega puntual a primera hora».

Del enunciado se leen la proporción de cada procedencia y, dentro de cada una, la proporción de puntualidad:

$P(L)=\mathrm{0,85},P(\bar{L})=\mathrm{0,15},P(P\mid \bar{L})=\mathrm{0,75},P(\bar{P}\mid L)=\mathrm{0,05}$

Se ordena todo en un diagrama de árbol.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{alumnos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{instituto}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{llegan}}\mathbf{\text{tarde}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{hora.}}$

Llegar tarde es el suceso $\bar{P}$. Como los alumnos de dentro y de fuera de la localidad forman un sistema completo, se aplica el teorema de la probabilidad total: se recorre cada rama del árbol que acaba en $\bar{P}$ y se suman los productos.

$P(\bar{P})=P(L)\cdot P(\bar{P}\mid L)+P(\bar{L})\cdot P(\bar{P}\mid \bar{L})$

$P(\bar{P})=\mathrm{0,85}\cdot \mathrm{0,05}+\mathrm{0,15}\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{0,0425}+\mathrm{0,0375}=\mathrm{0,08}$

El 8 % del alumnado del instituto llega tarde a primera hora.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{alumno}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{pueblo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{llegado}}\mathbf{\text{puntual.}}$

Ahora el dato es el efecto (ha llegado puntual) y se pregunta por la causa (de dónde viene), así que se trata de una probabilidad a posteriori y se aplica el teorema de Bayes. El denominador es la probabilidad de llegar puntual, complementaria de la del apartado anterior:

$P(P)=1-P(\bar{P})=1-\mathrm{0,08}=\mathrm{0,92}$

$P(\bar{L}\mid P)={\displaystyle \frac{P(\bar{L}\cap P)}{P(P)}}={\displaystyle \frac{P(\bar{L})\cdot P(P\mid \bar{L})}{P(P)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,15}\cdot \mathrm{0,75}}{\mathrm{0,92}}}$

$P(\bar{L}\mid P)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1125}}{\mathrm{0,92}}}=\mathrm{0,1223}$

La probabilidad de que un alumno puntual venga de un pueblo de alrededor es $\mathrm{0,1223}$, algo menor que el 15 % que suponen esos alumnos en el centro: los que vienen de fuera llegan tarde con más frecuencia.